Matemática · FGV · 2025 | Questão sqc-fg120444

GabaritoC — é suficiente para que se descubra o valor do 5º termo dessa progressão aritmética.

Progressão Aritmética: soma de termos equidistantes

Gabarito: letra C. A soma dos termos 2º, 5º e 8º de uma PA é sempre igual a 3 vezes o 5º termo, pois esses termos são equidistantes do termo central (5º). Assim, a informação dada é suficiente para descobrir o valor do 5º termo, mas não da razão nem dos outros termos isoladamente.

Em uma progressão aritmética, os termos são igualmente espaçados: cada termo é o anterior somado a uma constante $r$ (a razão). Uma propriedade fundamental é que a soma de termos equidistantes dos extremos é constante. No caso dos termos 2º, 5º e 8º, eles são simétricos em relação ao 5º termo: o 2º está a 3 passos antes e o 8º a 3 passos depois. Por isso, a soma $a_2 + a_8 = 2 \cdot a_5$ (o 2º e o 8º são equidistantes do 5º). Logo:

a_2 + a_5 + a_8 = (a_2 + a_8) + a_5 = 2a_5 + a_5 = 3a_5

Como o enunciado diz que essa soma é 33, temos $3a_5 = 33$ , ou seja, $a_5 = 11$ . A informação é suficiente para achar o 5º termo, mas não a razão nem os outros termos, pois há infinitas PAs com o mesmo 5º termo (variando a razão).

Caso	Atribuição (a₁, r)	Soma a₂ + a₅ + a₈	a₅ = 11?	Resultado
1	a₁ = 1, r = 2,5	33	Sim	Consistente
2	a₁ = 5, r = 1,5	33	Sim	Consistente
3	a₁ = 3, r = 2	33	Sim	Consistente
4	a₁ = 7, r = 1	33	Sim	Consistente

Alternativa A — ❌ Incorreta

A razão $r$ não pode ser determinada. Com apenas a soma dos três termos, obtemos uma equação com duas incógnitas ( $a_1$ e $r$ ), pois $a_2 = a_1 + r$ , $a_5 = a_1 + 4r$ , $a_8 = a_1 + 7r$ . A soma resulta em $3a_1 + 12r = 33$ , que tem infinitas soluções. Para achar $r$ precisaríamos de outra informação independente.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O 2º termo também não é determinado. Ele depende de $a_1$ e $r$ , e a equação $3a_1 + 12r = 33$ não fixa esses valores. Por exemplo, $a_1 = 1, r = 2,5$ dá $a_2 = 3,5$ ; $a_1 = 5, r = 1,5$ dá $a_2 = 6,5$ — ambos satisfazem a soma 33.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, $a_2 + a_5 + a_8 = 3a_5 = 33$ , logo $a_5 = 11$ . A informação é suficiente para descobrir exatamente o valor do 5º termo, que é 11.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O 8º termo não é determinado. Ele depende de $a_1$ e $r$ ; a equação única não os fixa. Nos exemplos acima, $a_8$ seria $1 + 7 \cdot 2,5 = 18,5$ ou $5 + 7 \cdot 1,5 = 15,5$ — valores diferentes para a mesma soma.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A informação é suficiente para descobrir o 5º termo, como visto. Portanto, a afirmação de que não é suficiente para descobrir algum termo é falsa.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a tentação de achar que, com uma única soma, nada se descobre. Mas a propriedade da PA faz com que a soma de termos equidistantes do central seja um múltiplo do termo central. Lembre-se: em uma PA, a média de termos equidistantes é o termo do meio. Aqui, $a_2$ e $a_8$ são equidistantes de $a_5$ , então $a_2 + a_8 = 2a_5$ . Isso resolve a questão sem precisar da razão.

PEGA ESSA DICA!

Sempre que a questão der a soma de termos de uma PA em posições simétricas (ex.: 2º, 5º e 8º; 1º, 4º e 7º), procure o termo central. A soma será um múltiplo dele. Se o número de termos for ímpar, o termo central é a média aritmética de todos eles. Essa propriedade cai muito em provas!

Gabarito: letra C