Raciocínio Lógico · FGV · 2025 | Questão sqc-fg120601

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 210 distribuições — alternativa D.

A ideia por trás

Análise combinatória é a parte da matemática que conta de quantas maneiras podemos agrupar elementos. Quando a ordem dentro do grupo não importa, usamos combinação: escolher 3 pessoas entre 7 é o mesmo que escolher um trio, sem se importar com a sequência. A fórmula da combinação é C(n,p) = n! / (p! (n-p)!).

Quando distribuímos pessoas em grupos, se os grupos são distinguíveis (como quartos diferentes de um hotel), a ordem dos grupos importa. Se escolhemos primeiro o trio para o quarto triplo, depois um par para um dos quartos duplos, o outro par fica automaticamente no último quarto. Multiplicamos as combinações de cada etapa. Se os grupos fossem idênticos, dividiríamos pelo número de permutações dos grupos, mas aqui os quartos são diferentes.

Esta questão cobra exatamente a diferença entre grupos distinguíveis e indistinguíveis. Precisamos escolher o trio para o quarto triplo e depois distribuir os 4 restantes nos dois quartos duplos, considerando que os quartos são diferentes.

O que a questão dá

7 amigos: A, B, C, D, E, F e G
3 quartos diferentes
1 quarto para 3 pessoas
2 quartos para 2 pessoas cada

O que queremos: o número total de distribuições distintas dos 7 amigos nos 3 quartos

Passo 1 — Escolher as 3 pessoas do quarto triplo

Primeiro separamos o grupo maior, porque ele é único e define quem sobra para os quartos duplos. Como a ordem dentro do quarto não importa, usamos combinação.

Por que esta fórmula: C(7,3) conta de quantas maneiras escolhemos 3 entre 7, sem considerar a ordem. É a fórmula de combinação.

C(7{,}3) = \frac{7!}{3!(7-3)!}

De onde vem cada valor: $7$ = enunciado: 7 amigos · $3$ = enunciado: quarto para 3 pessoas

C(7{,}3) = \frac{7!}{3!4!} = \frac{5040}{6 \times 24} = 35 = \boxed{35\ \text{maneiras}}

NÃO CAIA NESSA!

Usar arranjo (7·6·5) em vez de combinação, contando ordens diferentes como distintas — daria 210 já aqui.

Passo 2 — Escolher o par para o primeiro quarto duplo

Sobraram 4 pessoas. Precisamos escolher 2 para um dos quartos duplos; as outras 2 vão automaticamente para o outro quarto. Como os quartos são diferentes, escolher o par para o quarto A é diferente de escolher para o quarto B.

Por que esta fórmula: C(4,2) conta as maneiras de escolher 2 entre 4, sem ordem interna. Não dividimos por 2 porque os quartos são distintos.

C(4{,}2) = \frac{4!}{2!(4-2)!}

De onde vem cada valor: $4$ = passo 1: 7 - 3 = 4 pessoas restantes · $2$ = enunciado: quarto duplo

C(4{,}2) = \frac{4!}{2!2!} = \frac{24}{2 \times 2} = 6 = \boxed{6\ \text{maneiras}}

NÃO CAIA NESSA!

Dividir por 2 achando que os quartos são iguais — isso daria 3 e resposta 105.

Passo 3 — Multiplicar as escolhas de cada etapa

Cada escolha do trio pode ser combinada com cada escolha do par, então o total é o produto das duas contagens. É o princípio multiplicativo da contagem.

Por que esta fórmula: O número total de distribuições é o produto das combinações independentes: primeiro o trio, depois o par.

Total = C(7{,}3) \times C(4{,}2)

De onde vem cada valor: $C(7{,}3)$ = passo 1: 35 · $C(4{,}2)$ = passo 2: 6

Total = 35 \times 6 = 210 = \boxed{210\ \text{distribui}çõ\text{es}}

NÃO CAIA NESSA!

Somar em vez de multiplicar, ou esquecer de multiplicar e responder 35 ou 6.

Resposta: 210 distribuições — alternativa D

Questão de Raciocínio Lógico — Análise Combinatória em Raciocínio Lógico — FGV 2025

Resolução

A ideia por trás

O que a questão dá

Passo 1 — Escolher as 3 pessoas do quarto triplo

Passo 2 — Escolher o par para o primeiro quarto duplo

Passo 3 — Multiplicar as escolhas de cada etapa