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Questão de Matemática — Progressões — FGV 2025

MatemáticaProgressões
Código
fg120607
Banca
FGV
Órgão
SEFAZ-PR
Ano
2025
Nível
Superior
Cargo
Auditor Fiscal (Manhã)
Um arquiteto projetou uma escada que leva do térreo (base da escada) ao primeiro pavimento de um prédio (topo da escada).Ele percebeu que, para ir da base ao topo, se pudesse subir a escada a um ritmo de• 3 degraus por passo, precisaria dar n passos;• 4 degraus por passo, precisaria dar p passos;• 6 degraus por passo, precisaria dar q passos;• 12 degraus por passo, precisaria dar r passos.Se os valores de n, p, q e r, nessa ordem, são os quatro primeiros termos de uma progressão aritmética em que o décimo termo vale –20, a quantidade total de degraus dessa escada é um número entre
  1. A40 e 44.
  2. B45 e 49.
  3. C50 e 54.
  4. D55 e 59.
  5. E60 e 64.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 45 e 49.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 48 degraus, que está entre 45 e 49 (alternativa B)..

A ideia por trás

Uma progressão aritmética (PA) é uma sequência em que a diferença entre termos consecutivos é constante; essa diferença é chamada de razão. O termo geral de uma PA é dado por a_k = a_1 + (k-1)·d, onde a_1 é o primeiro termo e d é a razão. Nesta questão, os números de passos n, p, q, r são inversamente proporcionais aos degraus por passo, pois o produto (degraus por passo) × (número de passos) é sempre o total de degraus T. Assim, n = T/3, p = T/4, q = T/6, r = T/12. A condição de serem PA fornece a razão d = -T/12, e o décimo termo permite encontrar T.

O que a questão dá

  • 3 degraus por passo → n passos

  • 4 degraus por passo → p passos

  • 6 degraus por passo → q passos

  • 12 degraus por passo → r passos

  • n, p, q, r formam uma PA

  • décimo termo da PA = -20

O que queremos: a quantidade total de degraus da escada

Passo 1 — Relacionar passos e degraus

Precisamos expressar n, p, q, r em função do total de degraus T, pois são grandezas inversamente proporcionais: se você sobe mais degraus por passo, precisa de menos passos. O produto (degraus por passo) × (número de passos) é sempre o total T.

Por que esta fórmula: Como o total de degraus é o mesmo em todos os casos, temos 3n = T, 4p = T, 6q = T, 12r = T. Isolando cada variável, obtemos as expressões em função de T.

n=T3,p=T4,q=T6,r=T12n = \frac{T}{3}, \quad p = \frac{T}{4}, \quad q = \frac{T}{6}, \quad r = \frac{T}{12}

De onde vem cada valor: TT = enunciado: total de degraus (incógnita) · 3,4,6,123, 4, 6, 12 = enunciado: degraus por passo

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que são inversamente proporcionais e tentar igualar n = 3T, por exemplo.

Passo 2 — Calcular a razão da PA

Como n, p, q, r formam uma PA, a diferença entre termos consecutivos é constante. Vamos calcular essa diferença usando as expressões do passo 1, pois ela será usada na fórmula do termo geral.

Por que esta fórmula: A razão d é a diferença entre um termo e o anterior: d = p - n. Substituindo as expressões, obtemos d = -T/12.

d=p−n=T4−T3=−T12d = p - n = \frac{T}{4} - \frac{T}{3} = -\frac{T}{12}

De onde vem cada valor: pp = passo 1: p = T/4 · nn = passo 1: n = T/3

d=T4−T3=3T−4T12=−T12d = \frac{T}{4} - \frac{T}{3} = \frac{3T - 4T}{12} = -\frac{T}{12}
d=−T/12d = \boxed{-\text{T}/12}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a subtração de frações: lembre-se de que T/4 - T/3 = (3T - 4T)/12 = -T/12.

Passo 3 — Usar o décimo termo da PA

O enunciado informa que o décimo termo da PA é -20. Com o primeiro termo n = T/3 e a razão d = -T/12, podemos montar uma equação para achar T.

Por que esta fórmula: A fórmula do termo geral de uma PA é a_k = a_1 + (k-1)·d. Para k=10, temos a_10 = a_1 + 9d.

a10=a1+9da_{10} = a_1 + 9d

De onde vem cada valor: a10a_{10} = enunciado: -20 · a1a_1 = passo 1: n = T/3 · dd = passo 2: -T/12

−20=T3+9⋅(−T12)-20 = \frac{T}{3} + 9 \cdot \left(-\frac{T}{12}\right)
NÃO CAIA NESSA!

Usar 10 em vez de 9 na multiplicação pela razão, pois o décimo termo está 9 posições após o primeiro.

Passo 4 — Resolver a equação para T

Agora temos uma equação do primeiro grau em T. Vamos isolá-la para encontrar o total de degraus.

Por que esta fórmula: Simplificamos a expressão: 9·(-T/12) = -9T/12 = -3T/4. Então a equação fica -20 = T/3 - 3T/4. Colocando no mesmo denominador, obtemos -20 = -5T/12.

−20=T3−3T4-20 = \frac{T}{3} - \frac{3T}{4}

De onde vem cada valor: T/3T/3 = passo 3: primeiro termo · 3T/43T/4 = passo 3: 9·(-T/12) = -3T/4

−20=4T−9T12=−5T12-20 = \frac{4T - 9T}{12} = \frac{-5T}{12}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a subtração de frações: T/3 - 3T/4 = (4T - 9T)/12 = -5T/12.

Passo 5 — Isolar T e obter o total

Com a equação -20 = -5T/12, multiplicamos ambos os lados por 12 e dividimos por -5 para achar T.

Por que esta fórmula: Multiplicando por 12: -240 = -5T. Dividindo por -5: T = 48.

T=2405=48T = \frac{240}{5} = 48

De onde vem cada valor: 240240 = passo 4: -20 × 12 = -240 · 55 = passo 4: coeficiente de T

T=2405=48=48 degrausT = \frac{240}{5} = 48 = \boxed{48\ \text{degraus}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o sinal negativo: -240/-5 = 48, não -48.

Resposta: 48 degraus, que está entre 45 e 49 (alternativa B).

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