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Questão de Matemática — Geometria Espacial — FGV 2025

MatemáticaGeometria Espacial
Código
fg120608
Banca
FGV
Órgão
SEFAZ-PR
Ano
2025
Nível
Superior
Cargo
Auditor Fiscal (Manhã)
Lúcia tem uma mesa em sua sala. Sobre essa mesa, estão duas esferas.Lúcia verifica que a distância do piso horizontal da sala ao ponto mais alto da primeira esfera, que repousa diretamente sobre a mesa, é 120 cm. Em seguida, Lúcia coloca a outra esfera no chão, debaixo da mesa, e verifica que a distância do tampo horizontal da mesa ao ponto mais alto da segunda esfera é de 40 cm.Se a diferença entre os raios das esferas é 12 cm e a espessura do tampo da mesa é desprezível, é correto concluir que a menor das esferas tem raio igual a
  1. A14 cm.
  2. B15 cm.
  3. C16 cm.
  4. D17 cm.
  5. E18 cm.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 14 cm.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a A menor esfera tem raio 14 cm (alternativa A)..

A ideia por trás

Quando uma esfera repousa sobre uma superfície horizontal, a distância do ponto mais alto da esfera até um nível de referência é a distância da superfície até esse nível mais o diâmetro da esfera (2 vezes o raio). Aqui, a mesa tem altura h, e as duas esferas têm raios R (a maior, sobre a mesa) e r (a menor, no chão). A primeira medida dá h + 2R = 120, pois o topo da esfera sobre a mesa está a uma altura h + 2R do piso. A segunda medida dá h − 2r = 40, pois a esfera no chão está abaixo do tampo, então a distância do tampo ao topo é h − 2r. Somando as duas equações, a altura h se cancela e obtemos a soma dos raios. Com a diferença dos raios fornecida, montamos um sistema linear que resolve o problema.

O que a questão dá

  • distância do piso ao topo da 1ª esfera (sobre a mesa) = 120 cm

  • distância do tampo da mesa ao topo da 2ª esfera (no chão) = 40 cm

  • diferença entre os raios = 12 cm

  • espessura do tampo da mesa desprezível

O que queremos: o raio da menor esfera

Passo 1 — Montar a equação da esfera sobre a mesa

Precisamos traduzir a primeira informação (distância do piso ao topo da esfera sobre a mesa) em uma equação. A esfera está apoiada na mesa, então o ponto mais alto está a uma altura igual à altura da mesa (h) mais o diâmetro da esfera (2R). Isso relaciona h, R e a distância dada.

Por que esta fórmula: A distância do piso ao topo é a soma da altura da mesa com o diâmetro da esfera, porque o topo está acima do tampo da mesa.

h+2R=120h + 2R = 120

De onde vem cada valor: hh = altura da mesa (desconhecida) · RR = raio da esfera sobre a mesa (a maior) · 120120 = enunciado: distância do piso ao topo da 1ª esfera

h+2R=120h + 2R = 120
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar o raio por 2, usando h + R = 120.

Passo 2 — Montar a equação da esfera no chão

A segunda informação (distância do tampo ao topo da esfera no chão) também precisa virar equação. Agora a esfera está abaixo do tampo, então a distância do tampo ao topo é a altura da mesa menos o diâmetro da esfera (2r), pois o topo está abaixo do tampo.

Por que esta fórmula: A distância do tampo ao topo é a diferença entre a altura da mesa e o diâmetro da esfera, porque a esfera está embaixo da mesa.

h−2r=40h - 2r = 40

De onde vem cada valor: hh = altura da mesa (desconhecida) · rr = raio da esfera no chão (a menor) · 4040 = enunciado: distância do tampo ao topo da 2ª esfera

h−2r=40h - 2r = 40
NÃO CAIA NESSA!

Usar h + 2r = 40, o que daria soma errada dos raios.

Passo 3 — Eliminar a altura da mesa

Temos duas equações com h, R e r. Para achar os raios, precisamos eliminar h. Subtraindo a segunda equação da primeira, o h desaparece, pois h − h = 0.

Por que esta fórmula: Subtrair as equações é uma forma de eliminar uma incógnita comum, deixando uma equação só com R e r.

(h+2R)−(h−2r)=120−40(h + 2R) - (h - 2r) = 120 - 40

De onde vem cada valor: h+2Rh + 2R = passo 1 · h−2rh - 2r = passo 2 · 120120 = passo 1 · 4040 = passo 2

2R+2r=802R + 2r = 80
R+r=40R + r = \boxed{40}
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal ao subtrair: (h + 2R) - (h - 2r) = 2R - 2r, esquecendo que -(-2r) = +2r.

Passo 4 — Usar a diferença dos raios

A soma dos raios (R + r = 40) não basta; precisamos de outra relação. O enunciado diz que a diferença entre os raios é 12 cm. Como a esfera sobre a mesa é a maior (seu topo está mais alto), temos R − r = 12.

Por que esta fórmula: A diferença entre os raios é dada, e identificamos qual é o maior pelo contexto: a esfera sobre a mesa tem topo mais alto, então seu raio é maior.

R−r=12R - r = 12

De onde vem cada valor: RR = raio da esfera sobre a mesa (maior) · rr = raio da esfera no chão (menor) · 1212 = enunciado: diferença entre os raios

R−r=12R - r = 12
NÃO CAIA NESSA!

Inverter a ordem, escrevendo r − R = 12, o que daria raio negativo.

Passo 5 — Resolver o sistema para achar r

Agora temos duas equações lineares com R e r. Somando as duas, o r se cancela e encontramos R; depois substituímos para achar r. Como queremos a menor esfera, o valor de r é a resposta.

Por que esta fórmula: Somando as equações, eliminamos r e isolamos R; depois substituímos R na equação da soma para obter r.

{R+r=40R−r=12\begin{cases} R + r = 40 \\ R - r = 12 \end{cases}

De onde vem cada valor: R+r=40R + r = 40 = passo 3 · R−r=12R - r = 12 = passo 4

2R=52⇒R=26;  26+r=40⇒r=142R = 52 \Rightarrow R = 26; \; 26 + r = 40 \Rightarrow r = 14
r=14 cmr = \boxed{14\ \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a soma: 40 + 12 = 52, mas esquecer de dividir por 2, achando R = 52.

Resposta: A menor esfera tem raio 14 cm (alternativa A).

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