Estatística · FGV · 2025 | Questão sqc-fg120664

Padronização de variável aleatória (escore Z)

Gabarito: letra E. Para transformar uma variável aleatória X com média μ e desvio padrão σ em uma variável com média 0 e variância 1, aplica-se a padronização $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$ . Com μ = 100 e σ = 10 (pois variância = 100), a expressão correta é $\frac{X - 100}{10}$ , que corresponde à alternativa E.

A padronização é uma transformação linear que "centraliza" a variável em zero e a "escala" para ter variância unitária. O numerador $(X - \mu)$ subtrai a média, garantindo que a nova média seja zero. O denominador $\sigma$ (desvio padrão) divide pelo desvio, garantindo que a nova variância seja 1. Essa é a base do escore Z, usado para comparar valores de diferentes distribuições.

A pegadinha da questão está em confundir variância com desvio padrão. Como a variância é 100, o desvio padrão é $\sqrt{100} = 10$ . Muitos candidatos usam 100 no denominador, esquecendo de extrair a raiz quadrada. A banca explora exatamente esse erro nas alternativas A, B e D.

1Subtrair a média (X − μ)
2Dividir pelo desvio padrão (σ)
3Resultado: média 0, variância 1

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Critério	A: (X−100)/100	B: (100−X)/100	C: (X−10)/10	D: (X−50)/100	E: (X−100)/10
Numerador (subtrai μ=100?)	✅ Sim	❌ Inverte (100−X)	❌ Subtrai 10	❌ Subtrai 50	✅ Sim
Denominador (σ=10?)	❌ Usa variância (100)	❌ Usa variância (100)	✅ Sim	❌ Usa variância (100)	✅ Sim
Média resultante	0	0	9	0,5	0
Variância resultante	0,01	0,01	1	0,01	1
Resultado	❌	❌	❌	❌	✅ Gabarito

Alternativa A — ❌ Incorreta

$(X-100)/100$ : o numerador está correto (subtrai a média 100), mas o denominador usa a variância (100) em vez do desvio padrão (10). Isso resultaria em uma variável com variância $100/100^2 = 0,01$ , não 1.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$(100-X)/100$ : além de usar a variância no denominador, inverte a ordem da subtração. Isso não apenas erra a escala, mas também inverte o sinal da variável, o que não é a padronização padrão.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$(X-10)/10$ : o denominador está correto (10), mas o numerador subtrai 10 em vez de 100. Isso resultaria em uma média de $(100-10)/10 = 9$ , não 0.

Alternativa D — ❌ Incorreta

$(X-50)/100$ : o numerador subtrai 50 (errado, deveria ser 100) e o denominador usa a variância (errado, deveria ser 10). Duplo erro.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

$(X-100)/10$ : exatamente a fórmula de padronização $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$ com μ = 100 e σ = 10. A média resultante é $E[(X-100)/10] = (100-100)/10 = 0$ e a variância é $Var[(X-100)/10] = 100/100 = 1$ .

NÃO CAIA NESSA!

A banca troca o desvio padrão pela variância. Lembre-se: a padronização divide pelo desvio padrão (σ), não pela variância (σ²). Como a variância é 100, σ = 10. As alternativas A, B e D usam 100 no denominador para induzir ao erro.

PEGA ESSA DICA!

Sempre que a questão pedir "média 0 e variância 1", aplique diretamente $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$ . Identifique μ e σ (não σ²) e substitua. Esse é o padrão de qualquer questão de normalização.

Gabarito: letra E