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Questão de Matemática — Progressões — FGV 2025

MatemáticaProgressões
Código
fg121072
Banca
FGV
Órgão
SEPLAN-SE
Ano
2025
Nível
Superior
Cargo
Especialista em Políticas Públicas e Gestão Governamental
Uma sequência tem como primeiro termo o número 10 e, a partir dele, cada termo é igual ao anterior somado com 7.O primeiro termo dessa sequência que ultrapassa 1000 é:
  1. A1001.
  2. B1002.
  3. C1003.
  4. D1004.
  5. E1005.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 1004.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 1004 (alternativa D).

A ideia por trás

Uma progressão aritmética (PA) é uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é obtido somando-se uma constante (a razão r) ao termo anterior. Ela mede crescimentos ou decrescimentos uniformes, como parcelas de um financiamento ou degraus de uma escada. O termo geral a_n = a_1 + (n-1)·r permite calcular qualquer termo sem listar todos os anteriores: a_1 é o primeiro termo, r é o quanto se soma a cada passo, e (n-1) é quantos passos foram dados até o n-ésimo termo. Quando r cresce, os termos crescem mais rápido; quando n cresce, o termo aumenta linearmente. Nesta questão, precisamos encontrar o menor n tal que a_n > 1000, ou seja, o primeiro termo que passa do limite, e depois calcular o valor exato desse termo.

O que a questão dá

  • primeiro termo = 10

  • razão = 7

  • limite = 1000

O que queremos: o primeiro termo da sequência que ultrapassa 1000

Passo 1 — Escrever a fórmula do termo geral

Para saber o valor de qualquer termo sem listar a sequência inteira, usamos a fórmula do termo geral da PA. Ela relaciona a posição n com o valor do termo, e é a base para resolver a questão.

Por que esta fórmula: A sequência é uma PA com primeiro termo 10 e razão 7, então o termo geral é a_n = a_1 + (n-1)·r. Essa é a fórmula padrão para PA.

an=a1+(n−1)⋅ra_n = a_1 + (n-1) \cdot r

De onde vem cada valor: a1a_1 = enunciado: primeiro termo = 10 · rr = enunciado: razão = 7

an=10+(n−1)⋅7a_n = 10 + (n-1) \cdot 7
NÃO CAIA NESSA!

Confundir a_n com a_{n-1} e usar (n) em vez de (n-1).

Passo 2 — Montar a inequação de ultrapassagem

Queremos o primeiro termo que ultrapassa 1000, ou seja, o menor n tal que a_n > 1000. Isso vira uma inequação com a fórmula do termo geral.

Por que esta fórmula: A condição 'ultrapassa 1000' é a_n > 1000. Substituímos a_n pela expressão do passo 1.

10+(n−1)⋅7>100010 + (n-1) \cdot 7 > 1000

De onde vem cada valor: 1010 = passo 1 · (n−1)⋅7(n-1) \cdot 7 = passo 1 · 10001000 = enunciado: limite

10+(n−1)⋅7>100010 + (n-1) \cdot 7 > 1000
NÃO CAIA NESSA!

Usar >= em vez de >, pois o termo deve ultrapassar, não igualar.

Passo 3 — Isolar n na inequação

Precisamos descobrir a posição n do termo que ultrapassa o limite. Isolar n algebricamente nos dá o valor mínimo de n.

Por que esta fórmula: Resolvemos a inequação passo a passo: subtraímos 10, dividimos por 7 e isolamos n.

n>1000−107+1n > \frac{1000 - 10}{7} + 1

De onde vem cada valor: 10001000 = enunciado: limite · 1010 = passo 1 · 77 = passo 1

n>9907+1=n>142,428...n > \frac{990}{7} + 1 = \boxed{n > 142{,}428...}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar 1 ao isolar n, pois a fórmula tem (n-1).

Passo 4 — Arredondar n para o inteiro seguinte

n representa a posição do termo, então deve ser um número inteiro. Como n > 142,428..., o menor inteiro que satisfaz é 143.

Por que esta fórmula: Não há fórmula; é uma decisão de arredondamento: como n deve ser inteiro e maior que 142,428..., o próximo inteiro é 143.

n=143n = \boxed{143}
NÃO CAIA NESSA!

Arredondar para baixo (142) ou escolher 142, que não satisfaz a inequação.

Passo 5 — Calcular o 143º termo

Agora que sabemos que o primeiro termo que ultrapassa 1000 é o 143º, calculamos seu valor substituindo n = 143 na fórmula do termo geral.

Por que esta fórmula: Usamos a mesma fórmula do termo geral, agora com n = 143, para obter o valor exato do termo.

a143=10+(143−1)⋅7a_{143} = 10 + (143-1) \cdot 7

De onde vem cada valor: 1010 = passo 1 · 143143 = passo 4 · 77 = passo 1

a143=10+142⋅7=1004a_{143} = 10 + 142 \cdot 7 = \boxed{1004}
NÃO CAIA NESSA!

Usar n = 142 em vez de 143, ou errar a multiplicação 142·7.

Resposta: 1004 (alternativa D)

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