Questão de Estatística — Processos estocásticos — FGV 2025

Intervalo de confiança para a média com variância desconhecida

Gabarito: letra D. O intervalo de 95% de confiança para a média, quando a variância populacional é desconhecida e estimada pelo desvio padrão amostral $s$, é dado por $\bar{x} \pm z \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$, em que $z$ é o percentil 97,5% da normal padrão (aproximadamente 1,96). A alternativa D reproduz exatamente essa fórmula: $\bar{x} - \frac{zs}{\sqrt{n}}$ a $\bar{x} + \frac{zs}{\sqrt{n}}$.

A questão cobra a forma do intervalo de confiança para a média de uma população normal quando a variância é desconhecida. Nesse caso, o desvio padrão populacional $\sigma$ é substituído pelo desvio padrão amostral $s$, e o erro padrão da média amostral é $\frac{s}{\sqrt{n}}$. O intervalo é construído somando e subtraindo da média amostral o produto do quantil da normal padrão pelo erro padrão. Como o nível de confiança é 95%, o quantil utilizado é o que deixa 2,5% em cada cauda, ou seja, o percentil 97,5% da normal padrão, denotado por $z$ no enunciado.

A pegadinha da banca está em manipular os termos da fórmula: colocar o $\sqrt{n}$ no numerador, multiplicar por 2, ou omitir a divisão por $\sqrt{n}$. O candidato que decora a fórmula sem entender o papel do erro padrão pode cair em armadilhas como as alternativas A, B, C e E.

Alternativa A — ❌ Incorreta

A alternativa A apresenta $\bar{x} \pm \frac{\sqrt{n} z s}{2}$. Aqui, o $\sqrt{n}$ está no numerador, o que inverte a relação: o erro padrão da média é $\frac{s}{\sqrt{n}}$, não $\sqrt{n} \cdot s$. Além disso, a divisão por 2 não tem fundamento no intervalo de 95% de confiança, pois o quantil $z$ já é o valor que deixa 2,5% em cada cauda. Essa fórmula não corresponde a nenhum intervalo de confiança usual.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A alternativa B apresenta $\bar{x} \pm \frac{2 z s}{\sqrt{n}}$. O erro padrão $\frac{s}{\sqrt{n}}$ está correto, mas o fator 2 é um erro: o quantil $z$ (percentil 97,5%) já é aproximadamente 1,96, e multiplicá-lo por 2 resultaria em um intervalo com nível de confiança muito maior que 95% (na verdade, cerca de 95,45% se usássemos 2 em vez de 1,96, mas aqui o fator 2 é aplicado além do $z$, o que não corresponde a nenhum nível de confiança padrão). A fórmula correta usa apenas $z$, sem o fator 2.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A alternativa C apresenta $\bar{x} \pm \frac{z}{s \sqrt{n}}$. Aqui, o desvio padrão amostral $s$ está no denominador, mas deveria estar no numerador: o erro padrão é $\frac{s}{\sqrt{n}}$, não $\frac{1}{s \sqrt{n}}$. Essa inversão faz com que o intervalo diminua quando $s$ aumenta, o que é absurdo: quanto maior a variabilidade, maior deve ser a incerteza e, portanto, maior o intervalo.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A alternativa D apresenta $\bar{x} \pm \frac{z s}{\sqrt{n}}$, que é exatamente a fórmula do intervalo de confiança para a média com variância desconhecida, usando o desvio padrão amostral $s$ e o quantil $z$ da normal padrão. O erro padrão da média amostral é $\frac{s}{\sqrt{n}}$, e o intervalo é construído somando e subtraindo esse erro padrão multiplicado pelo quantil $z$. Como o nível de confiança é 95%, $z$ é o percentil 97,5% da normal padrão, que deixa 2,5% em cada cauda.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A alternativa E apresenta $\bar{x} \pm z s$. Aqui, falta a divisão por $\sqrt{n}$: o erro padrão da média amostral é $\frac{s}{\sqrt{n}}$, não $s$. Sem a divisão por $\sqrt{n}$, o intervalo ignora o efeito do tamanho da amostra: quanto maior $n$, menor deveria ser o erro padrão e, portanto, mais estreito o intervalo. Essa fórmula seria o intervalo para uma única observação, não para a média amostral.

Gabarito: letra D