Estatística · FGV · 2025 | Questão sqc-fg121795

Distribuição Binomial: probabilidade de exatamente k sucessos

Gabarito: letra C. A probabilidade de exatamente 2 das 4 famílias sorteadas morarem em locais sem saneamento básico é de aproximadamente 0,35 (mais precisamente, 0,3456). Isso decorre da aplicação da fórmula da distribuição binomial, com n = 4, p = 0,4 e k = 2: $P(X=2) = C_{4,2} \cdot 0,4^2 \cdot 0,6^2 = 6 \cdot 0,16 \cdot 0,36 = 0,3456$ .

A questão envolve um experimento com apenas dois resultados possíveis para cada família (morar ou não em local sem saneamento), um número fixo de tentativas (4 famílias), e a probabilidade de sucesso constante (40%). Essas são as condições clássicas da distribuição binomial, que modela o número de sucessos em n tentativas independentes. Apesar de o enunciado mencionar "sem reposição", a população é tratada como suficientemente grande para que a probabilidade permaneça aproximadamente constante — é exatamente essa a pegadinha que a banca explora, pois muitos candidatos tentam usar a distribuição hipergeométrica, que seria exigida se a população fosse pequena e finita.

A fórmula geral da binomial é:

P(X = k) = C_{n,k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}

onde $C_{n,k}$ é o número de combinações de n elementos tomados k a k, p é a probabilidade de sucesso e (1-p) é a probabilidade de fracasso. No caso, temos n = 4, k = 2, p = 0,4 e (1-p) = 0,6. Substituindo:

P(X = 2) = C_{4,2} \cdot 0,4^2 \cdot 0,6^2 = 6 \cdot 0,16 \cdot 0,36 = 0,3456

Arredondando para duas casas decimais, obtemos 0,35, que corresponde à alternativa C.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 0,25 não corresponde ao cálculo correto. Ele poderia ser obtido se o candidato calculasse apenas $0,4^2 = 0,16$ e somasse algo incorretamente, ou se confundisse a probabilidade de exatamente 2 sucessos com a probabilidade de 2 sucessos em 2 tentativas (que seria $0,4^2 = 0,16$ , ainda assim diferente). Não há fundamento estatístico para esse número.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 0,30 também não é o resultado da fórmula. Ele se aproxima de $0,4 \times 0,6 \times 4 = 0,96$ ? Não. Talvez o candidato tenha calculado $C_{4,2} \times 0,4 \times 0,6 = 6 \times 0,24 = 1,44$ , o que está errado. O valor 0,30 não corresponde a nenhum cálculo direto com os dados fornecidos.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, $P(X=2) = 0,3456$ , que arredondado para duas casas decimais é 0,35. A alternativa C é a única que reflete o resultado correto da distribuição binomial.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 0,40 é exatamente a probabilidade de sucesso p, mas não a probabilidade de obter exatamente 2 sucessos em 4 tentativas. O candidato que marca esta alternativa provavelmente confundiu a probabilidade de sucesso individual com a probabilidade do evento composto. A probabilidade de exatamente 2 sucessos é menor que p, pois envolve também a ocorrência de 2 fracassos.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 0,45 também não é o resultado correto. Ele poderia ser obtido se o candidato calculasse $C_{4,2} \times 0,4^2 \times 0,6^2$ de forma errada, por exemplo, usando $0,4^2 \times 0,6^2 = 0,0576$ e multiplicando por 8 em vez de 6, resultando em 0,4608, que arredondado seria 0,46, próximo de 0,45. Mas o cálculo correto usa 6 combinações, não 8.

NÃO CAIA NESSA!

A banca menciona "sem reposição" para induzir o candidato a usar a distribuição hipergeométrica. No entanto, como a população é grande (não se especifica o tamanho, mas se trata de uma população genérica), a probabilidade de sucesso permanece aproximadamente constante, e a binomial é o modelo adequado. Se a população fosse pequena (ex.: 10 famílias), aí sim a hipergeométrica seria necessária. Fique atento: em questões de concursos, quando a população é grande ou não especificada, a binomial é a escolha padrão.

PEGA ESSA DICA!

Para resolver rapidamente, lembre-se da fórmula da binomial e pratique com valores típicos. Uma tabela mental das combinações pequenas (C(4,2)=6, C(4,3)=4, etc.) e das potências de 0,4 e 0,6 ajuda a agilizar o cálculo. Em provas, o resultado costuma ser um número com duas casas decimais, então arredonde apenas no final.

Gabarito: letra C