Questão de Raciocínio Lógico — Diagramas de Venn (Conjuntos) — FGV 2025

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 18 atletas (alternativa A).

A ideia por trás

Em problemas de conjuntos, o diagrama de Venn é uma ferramenta para organizar as informações sobre quantos elementos pertencem a cada grupo e às combinações entre eles. Cada região do diagrama representa um grupo distinto de elementos, e a soma de todas as regiões é o total de elementos considerados. Quando dois conjuntos se sobrepõem, a região de interseção conta os elementos que pertencem a ambos; quando três conjuntos se sobrepõem, há também a interseção tripla. A unidade é o próprio elemento (no caso, o atleta), e a contagem é feita somando as quantidades de cada região.

A relação que governa é a soma das regiões: o total é a soma de todas as partes disjuntas do diagrama. Se chamarmos de x o valor de cada interseção dupla, e se a interseção tripla for zero, então o total é a soma dos que praticam apenas um esporte mais três vezes x. Isso porque há três interseções duplas, e cada uma contribui com x. Se x aumentar, o total aumenta; se x diminuir, o total diminui. A condição de validade é que nenhuma região pode ser negativa e a soma deve bater com o total fornecido.

Nesta questão, precisamos descobrir o valor de x a partir do total e das quantidades de quem pratica apenas um esporte, para então somar as regiões que compõem o conjunto Natação: apenas N, V∩N e F∩N.

O que a questão dá

• total de atletas = 40

• apenas F = 8

• apenas V = 7

• apenas N = 4

• F∩V = V∩N = F∩N = x

• F∩V∩N = 0

O que queremos: o número de atletas que praticam natação

Passo 1 — Montar a equação do total

O total de atletas é a soma de todas as regiões do diagrama. Como conhecemos as quantidades de quem pratica apenas um esporte e sabemos que as três interseções duplas são iguais a x, podemos escrever uma equação que relaciona tudo isso com o total de 40.

Por que esta fórmula: A soma das regiões disjuntas do diagrama de Venn é igual ao total de elementos. Aqui, as regiões são: apenas F (8), apenas V (7), apenas N (4), F∩V (x), V∩N (x), F∩N (x) e F∩V∩N (0). Somando tudo, temos 8 + 7 + 4 + x + x + x = 40.

De onde vem cada valor: $8$ = enunciado: 8 praticam apenas F · $7$ = enunciado: 7 praticam apenas V · $4$ = enunciado: 4 praticam apenas N · $x$ = enunciado: F∩V = V∩N = F∩N = x · $40$ = enunciado: total de atletas = 40

Passo 2 — Simplificar a equação

Para encontrar o valor de x, precisamos isolar a incógnita. Primeiro, somamos os números conhecidos e combinamos os termos com x.

Por que esta fórmula: A equação do passo anterior pode ser simplificada somando as constantes e os coeficientes de x: 8+7+4 = 19 e x+x+x = 3x.

De onde vem cada valor: $19$ = passo 1: 8+7+4 · $3x$ = passo 1: x+x+x · $40$ = enunciado: total de atletas = 40

Passo 3 — Isolar o termo com x

Para descobrir x, precisamos deixá-lo sozinho em um lado da equação. Subtraímos 19 dos dois lados para eliminar a constante do lado esquerdo.

Por que esta fórmula: Em uma equação, podemos subtrair o mesmo número dos dois lados sem alterar a igualdade. Isso isola o termo 3x.

De onde vem cada valor: $3x$ = passo 2 · $40$ = enunciado: total de atletas = 40 · $19$ = passo 2

Passo 4 — Calcular o valor de x

Agora que temos 3x = 21, dividimos por 3 para encontrar o valor de cada interseção dupla.

Por que esta fórmula: Se 3x = 21, então x = 21 ÷ 3, pois dividir ambos os lados por 3 mantém a igualdade.

De onde vem cada valor: $21$ = passo 3: 40 - 19 · $3$ = coeficiente de x na equação

Passo 5 — Somar as regiões da natação

O número de atletas que praticam natação é a soma de todas as regiões dentro do círculo N: apenas N, V∩N e F∩N. Como já sabemos x = 7, podemos somar.

Por que esta fórmula: No diagrama, o conjunto N é composto por três regiões disjuntas: apenas N (4), V∩N (x) e F∩N (x). A interseção tripla é zero, então não entra. Somamos esses valores.

De onde vem cada valor: $4$ = enunciado: apenas N = 4 · $x$ = passo 4: x = 7

Resposta: 18 atletas (alternativa A)