Questão de Estatística — Inferência estatística — FGV 2025

Tamanho da amostra para estimação de proporção: pior caso

Gabarito: letra B. Para garantir, com 95% de confiança, que a proporção amostral não se afaste da populacional por mais de 5%, no pior caso (sem informação prévia sobre $p$), usamos a fórmula do tamanho amostral com variância máxima: $n = \frac{z_{\alpha/2}^2 \cdot p(1-p)}{E^2}$, com $z_{0.025} = 1.96$, $E = 0.05$ e $p = 0.5$ (que maximiza $p(1-p) = 0.25$). Isso resulta em $n \approx 384.16$, arredondando para cima, $n = 385$.

A questão explora o cálculo do tamanho amostral para estimar uma proporção populacional $p$ quando não há informação prévia. Nesse cenário, a prática estatística é adotar o pior caso, ou seja, o valor de $p$ que torna a variância da proporção amostral máxima. Como $\hat{p}$ tem variância $\frac{p(1-p)}{n}$, o produto $p(1-p)$ atinge seu máximo em $p = 0.5$, valendo $0.25$. Essa é a escolha conservadora que garante o erro máximo especificado, independentemente do verdadeiro valor de $p$.

A fórmula geral para o tamanho amostral na estimação de proporção é:

onde $z_{\alpha/2}$ é o quantil da normal padrão para o nível de confiança desejado, $E$ é a margem de erro (a diferença máxima tolerada entre a proporção amostral e a populacional) e $p$ é a proporção populacional (desconhecida).

Para 95% de confiança, $\alpha = 0.05$, logo $z_{0.025} = 1.96$ (valor clássico da normal padrão). A margem de erro é $E = 0.05$ (5%). Como não há informação prévia, usamos $p = 0.5$ para maximizar a variância. Substituindo:

Como o tamanho da amostra deve ser um número inteiro e precisamos garantir que o erro não ultrapasse 5%, arredondamos para cima: $n = 385$.

A pegadinha aqui é dupla: primeiro, o candidato pode esquecer de usar $p = 0.5$ (pior caso) e tentar usar um valor qualquer, o que subestimaria o tamanho necessário. Segundo, pode arredondar para baixo (384), o que não garantiria a margem de erro especificada. A banca também costuma oferecer alternativas que resultam de usar $z = 2$ (aproximação comum) ou de errar o arredondamento.

Alternativa A — ❌ Incorreta

326 é um valor que surge se o candidato usar $z = 1.64$ (quantil para 90% de confiança) em vez de $1.96$, ou se cometer erro de cálculo. Com $z = 1.64$, teríamos $n = \frac{1.64^2 \cdot 0.25}{0.0025} \approx 268.96$, que não é 326. Também não corresponde a nenhuma combinação razoável dos parâmetros dados. É um distrator numérico sem fundamento direto.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

385 é exatamente o arredondamento para cima de $384.16$, obtido com $z = 1.96$, $p = 0.5$ e $E = 0.05$. É o valor que garante, com 95% de confiança, que o erro máximo seja de 5% no pior caso.

Alternativa C — ❌ Incorreta

490 poderia resultar de usar $z = 2.0$ (aproximação grosseira) e $p = 0.5$: $n = \frac{2^2 \cdot 0.25}{0.0025} = 400$, que não é 490. Também não corresponde a nenhuma variação plausível dos parâmetros. É um distrator numérico.

Alternativa D — ❌ Incorreta

545 não tem relação com os cálculos corretos. Se o candidato usasse $z = 1.96$ mas $E = 0.04$ (4%), teria $n = \frac{3.8416 \cdot 0.25}{0.0016} \approx 600.25$, que não é 545. É um valor aleatório que não corresponde a nenhuma combinação dos dados.

Alternativa E — ❌ Incorreta

720 também é um distrator. Se usasse $z = 1.96$, $p = 0.5$ e $E = 0.035$ (3.5%), teria $n \approx 784$, que não é 720. Nenhuma variação razoável dos parâmetros produz 720. É um valor sem fundamento.

Gabarito: letra B