Questão de Matemática — Álgebra — FGV 2025

Álgebra — Sequências e Média Aritmética

Gabarito: letra E. A sequência de oito números, onde cada termo (do 2º ao 7º) é a média aritmética dos seus vizinhos, forma uma progressão aritmética (PA). Com os termos $a_1 = 8$ e $a_4 = 47$, a razão da PA é $r = 13$, resultando no oitavo termo $a_8 = 99$.

Análise da Sequência

Seja a sequência $(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7, a_8)$. A condição de que cada termo é a média aritmética dos seus vizinhos, ou seja, $a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$, é a definição fundamental de uma progressão aritmética. Isso implica que $a_{n+1} - a_n = a_n - a_{n-1} = r$, onde $r$ é a razão constante.

Utilizando a fórmula do termo geral da PA, $a_n = a_1 + (n-1)r$, temos:

1. Para o primeiro termo: $a_1 = 8$

2. Para o quarto termo: $a_4 = a_1 + 3r = 47$

Substituindo os valores: $8 + 3r = 47$ $3r = 39$ $r = 13$

Agora, calculamos o oitavo termo ($a_8$): $a_8 = a_1 + 7r$ $a_8 = 8 + 7(13)$ $a_8 = 8 + 91$ $a_8 = 99$

Alternativas

• Alternativa A (95), B (96), C (97), D (98): Estão incorretas, pois não correspondem ao cálculo do oitavo termo da PA definida pelos valores fornecidos.

• Alternativa E (99): Está correta, pois é o resultado exato da aplicação da fórmula do termo geral da PA para $n=8$.

Gabarito: letra E