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Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — FGV 2025

MatemáticaAritmética e Problemas
Código
fg124021
Banca
FGV
Órgão
AGESAN-RS
Ano
2025
Nível
Médio
Os números positivos x, y e z são tais que:• x e y são diretamente proporcionais, respectivamente, aos números 2 e 3.• y e z são inversamente proporcionais, respectivamente, aos números 4 e 5.É correto afirmar que z é maior que x em
  1. A10%.
  2. B12%.
  3. C15%.
  4. D20%.
  5. E24%.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 20%.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 20% (alternativa D).

A ideia por trás

Proporcionalidade é uma relação entre grandezas: quando duas grandezas são diretamente proporcionais a certos números, a razão entre elas é constante e igual à razão entre esses números. Quando são inversamente proporcionais, o produto entre elas é constante e igual ao produto entre os números. A variação percentual mede o quanto uma grandeza cresceu ou diminuiu em relação a outra, calculada como a diferença dividida pelo valor de referência, vezes 100. Nesta questão, precisamos combinar as duas relações para expressar z em função de x e então calcular a variação percentual.

O que a questão dá

  • x e y diretamente proporcionais a 2 e 3

  • y e z inversamente proporcionais a 4 e 5

O que queremos: a porcentagem que z é maior que x

Passo 1 — Escrever a relação direta entre x e y

Precisamos transformar a informação verbal 'diretamente proporcionais' em uma equação que relacione x e y. Isso é o primeiro passo para depois conectar com z.

Por que esta fórmula: Quando duas grandezas são diretamente proporcionais a dois números, a razão entre elas é constante e igual à razão entre esses números. Por isso, x/y = 2/3.

xy=23\frac{x}{y} = \frac{2}{3}

De onde vem cada valor: xx = enunciado: número positivo x · yy = enunciado: número positivo y · 22 = enunciado: x é proporcional a 2 · 33 = enunciado: y é proporcional a 3

xy=23\frac{x}{y} = \frac{2}{3}
NÃO CAIA NESSA!

Inverter a razão, escrevendo y/x = 2/3, o que levaria a resultados errados.

Passo 2 — Isolar y em função de x

Precisamos de uma expressão para y que possa ser substituída na relação com z. Isolar y agora facilita a combinação das duas relações.

Por que esta fórmula: Multiplicando ambos os lados da equação por y e depois por 3, obtemos y = (3/2)x.

y=32xy = \frac{3}{2}x

De onde vem cada valor: 32\frac{3}{2} = passo 1: da razão 2/3 invertida · xx = passo 1: variável x

y=32xy = \frac{3}{2}x
y=(3/2)xy = \boxed{(3/2)\text{x}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de inverter a fração ao isolar y.

Passo 3 — Escrever a relação inversa entre y e z

Agora precisamos da equação que relaciona y e z, usando a informação de que são inversamente proporcionais a 4 e 5.

Por que esta fórmula: Quando duas grandezas são inversamente proporcionais a dois números, o produto entre elas é constante e igual ao produto entre esses números. Assim, y·4 = z·5.

y⋅4=z⋅5y \cdot 4 = z \cdot 5

De onde vem cada valor: yy = enunciado: número positivo y · 44 = enunciado: y é inversamente proporcional a 4 · zz = enunciado: número positivo z · 55 = enunciado: z é inversamente proporcional a 5

y⋅4=z⋅5y \cdot 4 = z \cdot 5
NÃO CAIA NESSA!

Confundir com proporcionalidade direta e escrever y/4 = z/5.

Passo 4 — Isolar z em função de y

Precisamos de z em termos de y para depois substituir y pela expressão do passo 2.

Por que esta fórmula: Dividindo ambos os lados por 5, obtemos z = (4/5)y.

z=45yz = \frac{4}{5}y

De onde vem cada valor: 45\frac{4}{5} = passo 3: da equação y·4 = z·5 · yy = passo 3: variável y

z=45yz = \frac{4}{5}y
z=(4/5)yz = \boxed{(4/5)\text{y}}
NÃO CAIA NESSA!

Inverter a fração, escrevendo z = (5/4)y.

Passo 5 — Substituir y na expressão de z

Agora temos y em função de x e z em função de y. Substituindo, obtemos z diretamente em função de x, o que permite comparar os dois.

Por que esta fórmula: Substituindo y = (3/2)x em z = (4/5)y, obtemos z = (4/5)·(3/2)x = (12/10)x = (6/5)x.

z=45⋅32xz = \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{2}x

De onde vem cada valor: 45\frac{4}{5} = passo 4: coeficiente de y · 32\frac{3}{2} = passo 2: y em função de x · xx = passo 2: variável x

z=45⋅32x=1210x=65xz = \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{2}x = \frac{12}{10}x = \frac{6}{5}x
z=(6/5)xz = \boxed{(6/5)\text{x}}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a multiplicação de frações, por exemplo, obter (12/10) e não simplificar.

Passo 6 — Calcular a variação percentual de x para z

Com z em função de x, podemos calcular o quanto z é maior que x em termos percentuais, que é o que a questão pede.

Por que esta fórmula: A variação percentual é (z - x)/x × 100%. Substituindo z = (6/5)x, obtemos (6/5 - 1)x/x = (1/5) = 20%.

z−xx×100%\frac{z - x}{x} \times 100\%

De onde vem cada valor: zz = passo 5: z = (6/5)x · xx = passo 5: variável x

65x−xx×100%=15xx×100%=15×100%=20%=20 %\frac{\frac{6}{5}x - x}{x} \times 100\% = \frac{\frac{1}{5}x}{x} \times 100\% = \frac{1}{5} \times 100\% = 20\% = \boxed{20\ \%}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de subtrair x, calculando apenas z/x = 120% e marcando 120% como resposta.

Resposta: 20% (alternativa D)

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