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Questão de Matemática — Probabilidade — FGV 2025

MatemáticaProbabilidade
Código
fg124039
Banca
FGV
Órgão
AL-AM
Ano
2025
Nível
Superior
Considere o conjunto N de todos os números naturais desde 10 até 69. O conjunto C é formado pelos elementos de N que não são múltiplos de 3. Um número do conjunto C é escolhido ao acaso.A probabilidade de que esse número seja múltiplo de 5 ou de 7 é:
  1. A18%.
  2. B20%.
  3. C25%.
  4. D30%.
  5. E36%.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 30%.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 30% (alternativa D).

A ideia por trás

Probabilidade é a razão entre os casos favoráveis e os casos possíveis, quando todos os casos são igualmente prováveis. Aqui o espaço amostral é o conjunto C, formado pelos números de 10 a 69 que não são múltiplos de 3. Para contar os casos favoráveis, usamos o princípio da inclusão-exclusão: para saber quantos números são múltiplos de 5 ou de 7, somamos os múltiplos de 5 com os de 7 e subtraímos os múltiplos de 35 (que foram contados duas vezes). Depois, precisamos lembrar que o espaço amostral é restrito: os múltiplos de 3 não estão em C, então eles não podem ser contados nem no total nem nos favoráveis. Nesta questão, o desafio é exatamente aplicar a inclusão-exclusão e depois filtrar pelo conjunto C.

O que a questão dá

  • intervalo de números naturais: de 10 a 69

  • conjunto C: números do intervalo que não são múltiplos de 3

  • evento: número escolhido é múltiplo de 5 ou de 7

O que queremos: a probabilidade de sortear um número de C que seja múltiplo de 5 ou de 7

Passo 1 — Contar os números de 10 a 69

Precisamos saber quantos números existem no intervalo para depois calcular o espaço amostral. A contagem de números inteiros consecutivos é feita subtraindo o menor do maior e somando 1, porque os extremos estão incluídos.

Por que esta fórmula: A quantidade de números inteiros de a até b (inclusive) é b - a + 1.

n=b−a+1n = b - a + 1

De onde vem cada valor: bb = enunciado: 69 · aa = enunciado: 10

n=69−10+1=60 nuˊmerosn = 69 - 10 + 1 = \boxed{60\ \text{n}ú\text{meros}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar 1, contando 59 em vez de 60.

Passo 2 — Contar os múltiplos de 3 no intervalo

O conjunto C exclui os múltiplos de 3, então precisamos saber quantos são para subtrair do total. Múltiplos de 3 são números que podem ser escritos como 3 vezes um inteiro; no intervalo, o primeiro é 12 e o último é 69.

Por que esta fórmula: Para contar múltiplos de um número k em um intervalo, usamos a fórmula: (último - primeiro)/k + 1, onde primeiro e último são os extremos que são múltiplos de k.

m=69−123+1m = \frac{69 - 12}{3} + 1

De onde vem cada valor: 6969 = enunciado: último múltiplo de 3 no intervalo · 1212 = enunciado: primeiro múltiplo de 3 no intervalo · 33 = enunciado: o divisor

m=69−123+1=20 muˊltiplosde3m = \frac{69 - 12}{3} + 1 = \boxed{20\ \text{m}ú\text{ltiplos} \text{de} 3}
NÃO CAIA NESSA!

Usar 10 como primeiro múltiplo, mas 10 não é múltiplo de 3.

Passo 3 — Calcular o tamanho do conjunto C

O espaço amostral é C, então precisamos do total de elementos de C. C é o intervalo inteiro menos os múltiplos de 3.

Por que esta fórmula: O total de elementos de C é a diferença entre o total do intervalo e a quantidade de múltiplos de 3.

∣C∣=60−20|C| = 60 - 20

De onde vem cada valor: 6060 = passo 1 · 2020 = passo 2

∣C∣=60−20=40 elementos|C| = 60 - 20 = \boxed{40\ \text{elementos}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de subtrair os múltiplos de 3, usando 60 como espaço amostral.

Passo 4 — Contar os múltiplos de 5 no intervalo

O evento pede múltiplos de 5 ou de 7, então precisamos contar quantos são no intervalo original. Múltiplos de 5 terminam em 0 ou 5.

Por que esta fórmula: Listamos os múltiplos de 5 de 10 a 69: 10, 15, 20, ..., 65. A quantidade é (65 - 10)/5 + 1.

m5=65−105+1m_5 = \frac{65 - 10}{5} + 1

De onde vem cada valor: 6565 = enunciado: último múltiplo de 5 no intervalo · 1010 = enunciado: primeiro múltiplo de 5 no intervalo · 55 = enunciado: o divisor

m5=65−105+1=12 muˊltiplosde5m_5 = \frac{65 - 10}{5} + 1 = \boxed{12\ \text{m}ú\text{ltiplos} \text{de} 5}
NÃO CAIA NESSA!

Contar 10 e 65, mas esquecer de incluir algum, ou contar 13 por engano.

Passo 5 — Contar os múltiplos de 7 no intervalo

Precisamos dos múltiplos de 7 para o evento. Múltiplos de 7 no intervalo: 14, 21, 28, ..., 63.

Por que esta fórmula: A quantidade é (63 - 14)/7 + 1.

m7=63−147+1m_7 = \frac{63 - 14}{7} + 1

De onde vem cada valor: 6363 = enunciado: último múltiplo de 7 no intervalo · 1414 = enunciado: primeiro múltiplo de 7 no intervalo · 77 = enunciado: o divisor

m7=63−147+1=8 muˊltiplosde7m_7 = \frac{63 - 14}{7} + 1 = \boxed{8\ \text{m}ú\text{ltiplos} \text{de} 7}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o 14 ou o 63, contando 7 em vez de 8.

Passo 6 — Contar os múltiplos de 35 no intervalo

Os múltiplos de 35 são múltiplos de 5 e de 7 ao mesmo tempo. Se somarmos os múltiplos de 5 e de 7, eles serão contados duas vezes, então precisamos subtrair uma vez. No intervalo, o único múltiplo de 35 é 35.

Por que esta fórmula: Múltiplos de 35 são múltiplos comuns de 5 e 7; no intervalo de 10 a 69, apenas 35.

m35=1m_{35} = 1

De onde vem cada valor: 11 = enunciado: apenas o número 35

m35=1=1 muˊltiplode35m_{35} = 1 = \boxed{1\ \text{m}ú\text{ltiplo} \text{de} 35}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que 35 é múltiplo de ambos, contando duas vezes.

Passo 7 — Aplicar a inclusão-exclusão

Para contar os números que são múltiplos de 5 ou de 7, somamos os dois grupos e subtraímos a interseção (múltiplos de 35), pois eles foram contados duas vezes.

Por que esta fórmula: O princípio da inclusão-exclusão para dois conjuntos: |A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|.

∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣−∣A∩B∣|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|

De onde vem cada valor: ∣A∣|A| = passo 4: 12 · ∣B∣|B| = passo 5: 8 · ∣A∩B∣|A \cap B| = passo 6: 1

∣A∪B∣=12+8−1=19 nuˊmeros|A \cup B| = 12 + 8 - 1 = \boxed{19\ \text{n}ú\text{meros}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de subtrair a interseção, obtendo 20.

Passo 8 — Excluir os múltiplos de 3 do evento

O espaço amostral é C, que não contém múltiplos de 3. Portanto, dos 19 números que são múltiplos de 5 ou de 7, precisamos remover aqueles que também são múltiplos de 3, pois eles não estão em C. Os múltiplos de 3 entre eles são: 15, 30, 45, 60 (múltiplos de 5) e 21, 42, 63 (múltiplos de 7). O 35 não é múltiplo de 3. Total: 7 números.

Por que esta fórmula: Subtraímos a quantidade de múltiplos de 3 que estão entre os múltiplos de 5 ou 7.

∣E∣=19−7|E| = 19 - 7

De onde vem cada valor: 1919 = passo 7 · 77 = enunciado: múltiplos de 3 entre os múltiplos de 5 ou 7

∣E∣=19−7|E| = 19 - 7

∣E∣|E| = 12 números favoráveis

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de excluir os múltiplos de 3, usando 19 como favoráveis.

Passo 9 — Calcular a probabilidade

A probabilidade é o quociente entre os casos favoráveis e o total de casos possíveis (espaço amostral). Aqui, favoráveis são os 12 números de C que são múltiplos de 5 ou de 7, e o total é 40.

Por que esta fórmula: Probabilidade = casos favoráveis / casos possíveis.

P=∣E∣∣C∣P = \frac{|E|}{|C|}

De onde vem cada valor: ∣E∣|E| = passo 8: 12 · ∣C∣|C| = passo 3: 40

P=1240P = \frac{12}{40}
0,3=30 %0{,}3 = \boxed{30\ \%}
NÃO CAIA NESSA!

Usar 60 como denominador, obtendo 12/60 = 20%, ou usar 19 como numerador, obtendo 19/40 ≈ 47,5%.

Resposta: 30% (alternativa D)

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