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Questão de Matemática — Álgebra — FGV 2025

MatemáticaÁlgebra
Código
fg124045
Banca
FGV
Órgão
AL-AM
Ano
2025
Nível
Superior
Três grandezas positivas X, Y e Z são tais que Y é diretamente proporcional ao quadrado de X e Z é inversamente proporcional a Y.Quando X = 4, tem-se Y = 48 e Z = 2. Quando Z = 8, o valor de X + Y é:
  1. A10.
  2. B12.
  3. C14.
  4. D16.
  5. E18.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 14.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 14 (alternativa C).

A ideia por trás

Proporcionalidade é uma relação entre grandezas: quando uma cresce, a outra cresce na mesma razão (direta) ou na razão inversa (inversa). Aqui, Y é diretamente proporcional ao quadrado de X, ou seja, Y = k₁·X², e Z é inversamente proporcional a Y, ou seja, Z·Y = k₂. A constante k₁ mostra quanto Y aumenta para cada unidade de X²; a constante k₂ mostra que o produto Z·Y é fixo. Nesta questão, precisamos usar os dados iniciais para achar as constantes e depois aplicá-las para o novo valor de Z.

O que a questão dá

  • X = 4, Y = 48, Z = 2

  • Z = 8

O que queremos: o valor de X + Y quando Z = 8

Passo 1 — Montar a relação direta entre Y e X²

Precisamos de uma equação que ligue Y e X. Como Y é diretamente proporcional ao quadrado de X, a relação é Y = k₁·X², com k₁ constante. Essa constante é o que vamos descobrir usando os valores dados.

Por que esta fórmula: É a definição de proporcionalidade direta: se uma grandeza é diretamente proporcional a outra, elas são múltiplas por uma constante.

Y=k1⋅X2Y = k_1 \cdot X^{2}

De onde vem cada valor: YY = enunciado: Y = 48 · XX = enunciado: X = 4 · k1k_1 = constante a determinar

48=k1⋅4248 = k_1 \cdot 4^{2}
k1=3k_1 = \boxed{3}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de elevar X ao quadrado e usar Y = k·X, o que leva a k₁ = 12 e depois a X errado.

Passo 2 — Montar a relação inversa entre Z e Y

Agora precisamos ligar Z e Y. Como Z é inversamente proporcional a Y, o produto Z·Y é constante. Isso nos dá uma segunda equação para achar k₂.

Por que esta fórmula: Inversamente proporcional significa que quando uma aumenta, a outra diminui na mesma proporção, então o produto é fixo.

Z⋅Y=k2Z \cdot Y = k_2

De onde vem cada valor: ZZ = enunciado: Z = 2 · YY = enunciado: Y = 48 · k2k_2 = constante a determinar

2⋅48=k22 \cdot 48 = k_2
k2=96k_2 = \boxed{96}
NÃO CAIA NESSA!

Inverter a relação e usar Z/Y = k, o que daria k₂ = 1/24 e depois Y errado.

Passo 3 — Calcular Y quando Z = 8

Com a constante k₂ conhecida, podemos usar a relação inversa para achar Y no novo cenário. Substituímos Z = 8 na equação Z·Y = 96.

Por que esta fórmula: A relação inversa é a única que liga Z e Y, então é ela que usamos.

Z⋅Y=k2Z \cdot Y = k_2

De onde vem cada valor: ZZ = enunciado: Z = 8 · k2k_2 = passo 2: 96

8⋅Y=968 \cdot Y = 96
Y=12Y = \boxed{12}
NÃO CAIA NESSA!

Dividir 96 por 8 errado, ou usar Z = 2 em vez de 8.

Passo 4 — Calcular X quando Y = 12

Agora que temos Y, usamos a relação direta para achar X. Substituímos Y = 12 na equação Y = 3X².

Por que esta fórmula: A relação direta é a única que liga X e Y, então é ela que usamos.

Y=k1⋅X2Y = k_1 \cdot X^{2}

De onde vem cada valor: YY = passo 3: 12 · k1k_1 = passo 1: 3

12=3⋅X212 = 3 \cdot X^{2}
X=2X = \boxed{2}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de tirar a raiz quadrada, ou considerar X negativo (mas X é positivo).

Passo 5 — Somar X e Y

A questão pede X + Y, então agora que temos ambos, basta somar.

X+YX + Y

De onde vem cada valor: XX = passo 4: 2 · YY = passo 3: 12

2+12=142 + 12 = \boxed{14}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar X, ou somar errado.

Resposta: 14 (alternativa C)

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