GabaritoE — 670.
Gabarito: letra E — a conta chega a 670 (alternativa E).
Quando temos três números com soma fixa e queremos minimizar o menor deles, a estratégia é maximizar os outros dois. A condição de que a diferença entre o maior e o menor seja menor que 10 limita o quanto o maior pode ser, então o maior número pode ser no máximo o menor mais 9. Como os números são naturais e diferentes, o do meio também deve ser o maior possível, respeitando a ordem. Nesta questão, precisamos encontrar o menor valor de a tal que existam b e c inteiros, com a < b < c, c - a < 10, e a + b + c = 2025.
soma dos três números = 2025
três números naturais diferentes
diferença entre o maior e o menor < 10
O que queremos: o menor valor possível para o menor dos três números
Para resolver o problema, precisamos representar os três números de forma algébrica. Como queremos minimizar o menor, chamamos os números de a, b e c, com a < b < c. A condição de diferença entre o maior e o menor ser menor que 10 nos dá c - a < 10, ou seja, c ≤ a + 9. Para maximizar b e c, o maior valor possível para c é a + 9, e para b é a + 8 (pois b < c e são inteiros).
Por que esta fórmula: Usamos a relação c ≤ a + 9 porque a diferença entre o maior e o menor é menor que 10, e como são inteiros, a diferença máxima é 9. Para maximizar b, escolhemos o maior inteiro menor que c, que é c - 1 = a + 8.
De onde vem cada valor: = o maior número · = o menor número · = diferença máxima permitida (menor que 10, então no máximo 9)
Esquecer que a diferença é menor que 10, não menor ou igual, então o máximo é 9, não 10.
Para minimizar a, precisamos maximizar b e c. Com c = a + 9 e b = a + 8, a soma fica a + (a+8) + (a+9) = 2025. Essa equação nos dá o menor valor teórico de a, mas como a deve ser inteiro, precisamos verificar se esse valor é inteiro.
Por que esta fórmula: A soma dos três números é 2025, então substituímos b e c pelos seus valores máximos em função de a. Isso nos dá o menor a possível, pois se a fosse menor, a soma máxima seria menor que 2025.
De onde vem cada valor: = o menor número · = o número do meio, máximo possível · = o maior número, máximo possível · = enunciado: soma dos três números
Usar b = a+9 e c = a+10, mas isso violaria a condição de diferença menor que 10.
Agora simplificamos a equação para encontrar o valor de a. Somamos os termos com a e as constantes, depois isolamos a.
Por que esta fórmula: A equação é linear, então resolvemos isolando a: primeiro somamos os termos semelhantes, depois subtraímos a constante e dividimos pelo coeficiente de a.
De onde vem cada valor: = soma de a + a + a · = soma de 8 + 9 · = passo 2
Errar a soma das constantes: 8+9=17, não 19.
Para encontrar o valor de a, subtraímos 17 dos dois lados e depois dividimos por 3. Isso nos dá o valor teórico, que não é inteiro, indicando que precisamos ajustar.
Por que esta fórmula: Isolamos a subtraindo 17 e dividindo por 3, pois a está multiplicado por 3.
De onde vem cada valor: = passo 3 · = passo 3 · = coeficiente de a
Arredondar para 669, mas isso não funciona como veremos no próximo passo.
Como a deve ser inteiro, testamos o valor inteiro imediatamente abaixo do valor teórico, 669. Com a = 669, o maior c possível é 678, e o do meio b = 677. A soma máxima é 669 + 677 + 678 = 2024, que é menor que 2025. Portanto, não é possível atingir a soma sem violar a condição.
Por que esta fórmula: Para verificar se a = 669 funciona, calculamos a soma máxima possível com esse a: a + (a+8) + (a+9). Se essa soma for menor que 2025, então a não serve.
De onde vem cada valor: = 669 · = 677 · = 678
Achar que 669 funciona porque 2024 está próximo de 2025, mas falta 1 e não há como aumentar sem quebrar a condição.
Como 669 não funciona, testamos o próximo inteiro, 670. Com a = 670, o maior c possível é 679, e o do meio b = 676 (pois b < c e queremos maximizar, mas também precisamos que a soma dê 2025). Verificamos se existe combinação que satisfaça a soma e a condição.
Por que esta fórmula: Precisamos encontrar b e c tais que a + b + c = 2025, com a < b < c e c - a < 10. Com a = 670, c pode ser no máximo 679. Para maximizar b, escolhemos b = 676 e c = 679, pois 670 + 676 + 679 = 2025 e 679 - 670 = 9 < 10.
De onde vem cada valor: = 670 · = 676 · = 679
Tentar usar b = 677 e c = 678, mas a soma daria 2025? 670+677+678=2025, mas c - a = 8 < 10, então também funciona! Na verdade, há várias combinações, mas o importante é que existe pelo menos uma.
Resposta: 670 (alternativa E)
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