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Questão de Matemática — Progressões — FGV 2025

MatemáticaProgressões
Código
fg124103
Banca
FGV
Órgão
AL-AM
Ano
2025
Nível
Médio
Em cada um dos 64 quadradinhos de um tabuleiro de xadrez é colocado um dos 64 primeiros números ímpares (1, 3, 5, 7, ...).Os 8 primeiros números ímpares são colocados em ordem na primeira linha, os 8 seguintes em ordem na segunda linha e assim por diante.A soma dos 4 números que ficaram nos 4 cantos do tabuleiro equivale a
  1. A252.
  2. B254.
  3. C256.
  4. D258.
  5. E260.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 256.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 256 (alternativa C).

A ideia por trás

Os números ímpares formam uma progressão aritmética (PA) de razão 2: cada termo é o anterior mais 2. O termo geral é a_n = a_1 + (n-1)·r, onde a_1 é o primeiro termo, r é a razão e n é a posição. Isso permite achar qualquer termo sem listar todos. Nesta questão, os números são distribuídos em um tabuleiro 8×8, então as posições dos cantos dependem da organização em linhas: a primeira linha tem as posições 1 a 8, a segunda de 9 a 16, e assim por diante. Precisamos identificar as posições dos quatro cantos e usar a fórmula da PA para achar seus valores.

O que a questão dá

  • 64 primeiros números ímpares: 1, 3, 5, ..., 127

  • tabuleiro 8×8, 8 números por linha em ordem crescente

O que queremos: a soma dos números nos 4 cantos do tabuleiro

Passo 1 — Identificar as posições dos quatro cantos

Antes de calcular os números, precisamos saber quais termos da sequência estão nos cantos. Como o tabuleiro tem 8 colunas, cada linha contém 8 números. O canto superior esquerdo é o primeiro termo (posição 1), o superior direito é o último da primeira linha (posição 8). O inferior esquerdo é o primeiro da oitava linha: como cada linha tem 8 números, a oitava linha começa na posição 8×7+1 = 57. O inferior direito é o último da oitava linha, ou seja, a posição 64.

posic\co~es:1,8,57,64\boxed{\text{posi}çõ\text{es}: 1, 8, 57, 64}
NÃO CAIA NESSA!

Achar que a última linha começa na posição 49 (que é a sétima linha). Lembre: 8 linhas × 8 colunas = 64, então a oitava linha começa em 57.

Passo 2 — Calcular o valor do primeiro canto

O primeiro canto é o primeiro termo da sequência, que é 1. Não precisa de fórmula, mas é o ponto de partida para os outros.

1\boxed{1}
NÃO CAIA NESSA!

Nenhum, é direto.

Passo 3 — Calcular o valor do segundo canto (posição 8)

O segundo canto é o oitavo termo da PA. Usamos a fórmula do termo geral para achar seu valor sem listar todos os números.

Por que esta fórmula: A sequência é uma PA de razão 2, então o termo geral é a_n = a_1 + (n-1)·r. Aqui, a_1 = 1, r = 2 e n = 8.

a8=a1+(8−1)⋅ra_8 = a_1 + (8-1) \cdot r

De onde vem cada valor: a1a_1 = enunciado: primeiro ímpar = 1 · rr = enunciado: números ímpares consecutivos, razão 2 · 88 = passo 1: posição do canto superior direito

a8=1+7⋅2=15a_8 = 1 + 7 \cdot 2 = \boxed{15}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar (8-1) por 2, ou usar n=8 direto sem subtrair 1.

Passo 4 — Calcular o valor do terceiro canto (posição 57)

O terceiro canto é o primeiro termo da oitava linha, na posição 57. Aplicamos a mesma fórmula da PA.

Por que esta fórmula: Mesma PA, agora com n = 57.

a57=a1+(57−1)⋅ra_{57} = a_1 + (57-1) \cdot r

De onde vem cada valor: a1a_1 = enunciado: 1 · rr = enunciado: 2 · 5757 = passo 1: posição do canto inferior esquerdo

a57=1+56⋅2=113a_{57} = 1 + 56 \cdot 2 = \boxed{113}
NÃO CAIA NESSA!

Usar 57-1 = 56, mas errar a multiplicação: 56×2 = 112, somando 1 dá 113. Cuidado com a ordem das operações.

Passo 5 — Calcular o valor do quarto canto (posição 64)

O quarto canto é o último termo da sequência, na posição 64. Aplicamos a fórmula novamente.

Por que esta fórmula: Mesma PA, agora com n = 64.

a64=a1+(64−1)⋅ra_{64} = a_1 + (64-1) \cdot r

De onde vem cada valor: a1a_1 = enunciado: 1 · rr = enunciado: 2 · 6464 = passo 1: posição do canto inferior direito

a64=1+63⋅2=127a_{64} = 1 + 63 \cdot 2 = \boxed{127}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir 63×2 = 126, mas somar 1 dá 127. Não esquecer o +1.

Passo 6 — Somar os quatro valores

Agora que temos os quatro números dos cantos, basta somá-los para obter a resposta.

Por que esta fórmula: A soma é direta: 1 + 15 + 113 + 127.

S=a1+a8+a57+a64S = a_1 + a_8 + a_{57} + a_{64}

De onde vem cada valor: a1a_1 = passo 2: 1 · a8a_8 = passo 3: 15 · a57a_{57} = passo 4: 113 · a64a_{64} = passo 5: 127

S=1+15+113+127=256S = 1 + 15 + 113 + 127 = \boxed{256}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a soma: 1+15=16, 16+113=129, 129+127=256. Conferir cada soma parcial.

Resposta: 256 (alternativa C)

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