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Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — FGV 2025

MatemáticaAritmética e Problemas
Código
fg124106
Banca
FGV
Órgão
AL-AM
Ano
2025
Nível
Médio
Considere o conjunto {2, 4, 6, 8, 10, 12} e o seguinte procedimento, composto de 3 etapas em sequência:• Escolha 3 números diferentes desse conjunto;• Some 2 quaisquer desses 3 números;• Multiplique a soma obtida pelo 3º número.O menor resultado possível de ser obtido com esse procedimento é igual a
  1. A18.
  2. B20.
  3. C24.
  4. D32.
  5. E36.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 20.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 20 (alternativa B).

A ideia por trás

Este problema trata de combinações e otimização: precisamos escolher três números distintos de um conjunto e, entre eles, decidir qual será o multiplicador. O resultado é o produto de uma soma (de dois números) pelo terceiro. Para minimizar o produto, intuitivamente queremos números pequenos, mas a escolha do multiplicador é crucial: multiplicar por um número pequeno reduz bastante o resultado, mesmo que a soma seja um pouco maior. A relação é: resultado = (a + b) × c, onde a, b, c são os três escolhidos. Se c for pequeno, o produto tende a ser menor. Nesta questão, precisamos testar as combinações possíveis e ver qual dá o menor valor, considerando todas as escolhas de qual número fica de fora da soma.

O que a questão dá

  • conjunto = {2, 4, 6, 8, 10, 12}

  • procedimento: escolher 3 números distintos, somar 2 deles, multiplicar pelo terceiro

O que queremos: o menor resultado possível do procedimento

Passo 1 — Listar os trios com os menores números

Para achar o menor resultado, é razoável começar pelos menores números do conjunto, pois eles tendem a gerar produtos menores. Vamos considerar os trios formados pelos menores elementos.

NÃO CAIA NESSA!

Pular direto para o trio {2,4,6} sem testar outras combinações, achando que é o único candidato.

Passo 2 — Calcular os resultados para o trio {2, 4, 6}

Com os três números escolhidos, há três maneiras de escolher qual fica de fora da soma. Precisamos calcular todas para ver qual é a menor.

Por que esta fórmula: A fórmula é (a+b)×c, onde a e b são os números somados e c é o multiplicador. Para cada trio, variamos qual número é o multiplicador.

R=(a+b)×cR = (a + b) \times c

De onde vem cada valor: a,b,ca, b, c = os três números escolhidos, um deles fica de fora da soma

(2+4)×6=36;(2+6)×4=32;(4+6)×2=20(2+4)\times 6 = 36; (2+6)\times 4 = 32; (4+6)\times 2 = 20

RR = 20 é o menor para este trio

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de testar todas as três combinações; por exemplo, só calcular (2+4)×6 e achar que é o único.

Passo 3 — Testar outros trios com números pequenos

Precisamos garantir que nenhum outro trio produza um valor menor que 20. Vamos testar trios que incluam 2 e outros números pequenos, pois eles são os candidatos mais prováveis.

Por que esta fórmula: Mesma fórmula, mas agora com diferentes combinações de números.

R=(a+b)×cR = (a + b) \times c

De onde vem cada valor: a,b,ca, b, c = números do trio escolhido

Para2,4,8:(2+4)×8=48,(2+8)×4=40,(4+8)×2=24;para2,4,10:(2+4)×10=60,(2+10)×4=48,(4+10)×2=28;para2,6,8:(2+6)×8=64,(2+8)×6=60,(6+8)×2=28;para2,6,10:(2+6)×10=80,(2+10)×6=72,(6+10)×2=32;para2,8,10:(2+8)×10=100,(2+10)×8=96,(8+10)×2=36Para {2,4{,}8}: (2+4) \times 8=48, (2+8) \times 4=40, (4+8) \times 2=24; para {2,4{,}10}: (2+4) \times 10=60, (2+10) \times 4=48, (4+10) \times 2=28; para {2,6{,}8}: (2+6) \times 8=64, (2+8) \times 6=60, (6+8) \times 2=28; para {2,6{,}10}: (2+6) \times 10=80, (2+10) \times 6=72, (6+10) \times 2=32; para {2,8{,}10}: (2+8) \times 10=100, (2+10) \times 8=96, (8+10) \times 2=36

RR = Nenhum desses trios produz valor menor que 20

NÃO CAIA NESSA!

Achar que o menor sempre vem do trio com os três menores números, sem testar outras combinações.

Passo 4 — Concluir que 20 é o menor

Como todos os trios com números pequenos já foram testados e nenhum deu menos que 20, e os trios com números maiores tendem a dar produtos maiores, podemos concluir que 20 é o mínimo.

20\boxed{20}
NÃO CAIA NESSA!

Não justificar por que os trios maiores não precisam ser testados; mas aqui é suficiente porque os menores já dão 20 e os maiores só aumentam.

Resposta: 20 (alternativa B)

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