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Questão de Matemática — Probabilidade — FGV 2025

MatemáticaProbabilidade
Código
fg124314
Banca
FGV
Órgão
CPRM
Ano
2025
Nível
Superior
João e Maria fazem parte de um grupo de pesquisa. Sabe-se que 3 pessoas do grupo serão sorteadas para representarem o grupo em um evento. Todos os membros do grupo possuem a mesma probabilidade de serem sorteados, e a probabilidade de João e Maria estarem entre os três sorteados é igual 3/28.Quantas pessoas há no grupo?
  1. A31.
  2. B28.
  3. C25.
  4. D8.
  5. E7.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 8.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 8 pessoas (alternativa D).

A ideia por trás

A probabilidade clássica mede a chance de um evento acontecer como a razão entre os casos favoráveis e os casos possíveis, quando todos têm a mesma chance. Aqui, os casos possíveis são todas as maneiras de escolher 3 pessoas de um grupo de n, e os casos favoráveis são as escolhas que incluem João e Maria. Como a ordem do sorteio não importa, usamos combinação simples: C(n,3) conta os grupos de 3, e C(n-2,1) conta as escolhas da terceira pessoa depois de fixar João e Maria. A probabilidade é a razão entre esses dois números, e igualá-la a 3/28 nos dá uma equação para n. Nesta questão, precisamos montar essa razão e resolver a equação resultante.

O que a questão dá

  • probabilidade de João e Maria estarem entre os sorteados = 3/28

  • número de sorteados = 3

O que queremos: o número total de pessoas no grupo

Passo 1 — Montar a razão de probabilidade

A probabilidade de um evento é o número de resultados favoráveis dividido pelo número de resultados possíveis. Aqui, os resultados possíveis são todas as formas de escolher 3 pessoas de um grupo de n, e os favoráveis são as escolhas que incluem João e Maria. Como a ordem não importa, usamos combinação.

Por que esta fórmula: A probabilidade é a razão entre os casos favoráveis e os casos possíveis. Os casos favoráveis são as combinações que incluem João e Maria: fixados os dois, resta escolher 1 pessoa entre as n-2 restantes, então são C(n-2,1). Os casos possíveis são todas as combinações de 3 pessoas entre n: C(n,3).

P=Cn−2,1Cn,3P = \frac{C_{n-2{,}1}}{C_{n,3}}

De onde vem cada valor: Cn−2,1C_{n-2{,}1} = enunciado: João e Maria já estão escolhidos, falta escolher 1 entre n-2 · Cn,3C_{n,3} = enunciado: total de maneiras de escolher 3 pessoas entre n

328=Cn−2,1Cn,3\frac{3}{28} = \frac{C_{n-2{,}1}}{C_{n,3}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar arranjo em vez de combinação, contando ordens diferentes como casos distintos.

Passo 2 — Expandir as combinações

Para resolver a equação, precisamos escrever as combinações em termos de n. A combinação C(n,3) é o número de grupos de 3 que podemos formar com n pessoas, e C(n-2,1) é simplesmente n-2, pois escolher 1 entre n-2 tem n-2 opções.

Por que esta fórmula: A fórmula da combinação é C(n,k) = n!/(k!(n-k)!). Para k=1, C(n-2,1) = (n-2)!/(1!(n-3)!) = n-2. Para k=3, C(n,3) = n!/(3!(n-3)!) = n(n-1)(n-2)/6.

Cn,3=n(n−1)(n−2)6,Cn−2,1=n−2C_{n,3} = \frac{n(n-1)(n-2)}{6}, \quad C_{n-2{,}1} = n-2

De onde vem cada valor: nn = enunciado: número total de pessoas (incógnita) · n−2n-2 = enunciado: pessoas restantes após fixar João e Maria

Cn,3=n(n−1)(n−2)6,Cn−2,1=n−2C_{n,3} = \frac{n(n-1)(n-2)}{6}, \quad C_{n-2{,}1} = n-2
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de simplificar o fatorial corretamente, especialmente o (n-3)!.

Passo 3 — Substituir na probabilidade

Agora que temos as expressões para as combinações, substituímos na razão de probabilidade para obter uma equação apenas com n.

Por que esta fórmula: Substituímos C(n-2,1) por n-2 e C(n,3) por n(n-1)(n-2)/6 na razão P = (n-2) / [n(n-1)(n-2)/6].

328=n−2n(n−1)(n−2)6\frac{3}{28} = \frac{n-2}{\frac{n(n-1)(n-2)}{6}}

De onde vem cada valor: 3/283/28 = enunciado: probabilidade dada · n−2n-2 = passo 2 · n(n−1)(n−2)/6n(n-1)(n-2)/6 = passo 2

328=n−2n(n−1)(n−2)6\frac{3}{28} = \frac{n-2}{\frac{n(n-1)(n-2)}{6}}
NÃO CAIA NESSA!

Errar ao dividir frações: lembrar que dividir por uma fração é multiplicar pelo inverso.

Passo 4 — Simplificar a fração

A expressão tem (n-2) no numerador e no denominador, então podemos cancelá-lo, desde que n ≠ 2 (o que é verdade, pois o grupo tem mais de 3 pessoas). Isso simplifica muito a equação.

Por que esta fórmula: Ao dividir (n-2) por (n-2), obtemos 1, então a razão vira 6/[n(n-1)].

328=6n(n−1)\frac{3}{28} = \frac{6}{n(n-1)}

De onde vem cada valor: 66 = passo 3: após cancelar (n-2), sobra 6 no numerador · n(n−1)n(n-1) = passo 3: denominador após cancelar (n-2)

328=6n(n−1)\frac{3}{28} = \frac{6}{n(n-1)}
NÃO CAIA NESSA!

Cancelar (n-2) sem verificar que n ≠ 2, mas como n é o total de pessoas e há 3 sorteados, n ≥ 3.

Passo 5 — Multiplicar cruzado

Com a equação simplificada, multiplicamos cruzado para eliminar as frações e obter uma equação polinomial.

Por que esta fórmula: Multiplicar ambos os lados por 28 e por n(n-1) para isolar os termos.

3⋅n(n−1)=6⋅283 \cdot n(n-1) = 6 \cdot 28

De onde vem cada valor: 33 = passo 4: numerador da fração da esquerda · n(n−1)n(n-1) = passo 4: denominador da fração da esquerda · 66 = passo 4: numerador da fração da direita · 2828 = passo 4: denominador da fração da direita

3⋅n(n−1)=6⋅283 \cdot n(n-1) = 6 \cdot 28
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar corretamente: 6*28 = 168, não 1680.

Passo 6 — Resolver a equação do segundo grau

A equação resultante é n(n-1) = 56, que é uma equação do segundo grau. Precisamos encontrar o valor positivo de n.

Por que esta fórmula: Expandimos n(n-1) = n² - n, então temos n² - n = 56, ou n² - n - 56 = 0. Usamos a fórmula de Bhaskara: n = [-b ± √(b² - 4ac)] / (2a), com a=1, b=-1, c=-56.

n=1±1+2242n = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 224}}{2}

De onde vem cada valor: 11 = coeficiente b com sinal trocado: -(-1) = 1 · 224224 = 4ac = 41(-56) = -224, então b² - 4ac = 1 - (-224) = 225, √225 = 15 · 22 = 2a = 2*1

n=1±152n = \frac{1 \pm 15}{2}

n = 8 ou n = -7

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que a raiz quadrada de 225 é 15, não 25.

Passo 7 — Escolher a raiz positiva

O número de pessoas não pode ser negativo, então descartamos n = -7 e ficamos com n = 8.

Por que esta fórmula: Como n representa uma quantidade de pessoas, deve ser um número inteiro positivo. A raiz negativa não faz sentido no contexto.

n=8n = \boxed{8}
NÃO CAIA NESSA!

Considerar a raiz negativa como válida, o que daria um grupo com -7 pessoas.

Resposta: 8 pessoas (alternativa D)

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