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Questão de Matemática — Geometria Analítica — FGV 2025

MatemáticaGeometria Analítica
Código
fg124318
Banca
FGV
Órgão
CPRM
Ano
2025
Nível
Superior
Dois pontos do plano cartesiano P(x,y) e Q(x,y) são tais que suas coordenadas satisfazem à equação algébrica:x² + y² = 9A maior distância possível entre P e Q mede
  1. A3.
  2. B6.
  3. C9.
  4. D18.
  5. E81.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 6.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 6 (alternativa B).

A ideia por trás

A equação x² + y² = 9 é a forma reduzida de uma circunferência com centro na origem (0,0) e raio r, onde r² = 9, logo r = 3. Todos os pontos que satisfazem essa equação estão sobre a circunferência. A distância entre dois pontos quaisquer dessa circunferência varia de 0 (quando são o mesmo ponto) até o diâmetro (quando são pontos diametralmente opostos). O diâmetro é o dobro do raio: 2 × 3 = 6. Portanto, a maior distância possível entre P e Q é 6. A pegadinha da banca está em confundir o raio (3) com a distância máxima, ou em elevar o raio ao quadrado (9) por causa da equação.

O que a questão dá

  • equação: x² + y² = 9

O que queremos: a maior distância possível entre dois pontos P e Q que satisfazem a equação

Passo 1 — Reconhecer a equação como circunferência

A equação x² + y² = 9 é a forma reduzida de uma circunferência com centro na origem (0,0) e raio r. Precisamos identificar o raio, pois ele é a base para calcular a distância máxima entre dois pontos.

Por que esta fórmula: A forma geral da circunferência com centro na origem é x² + y² = r². Comparando com a equação dada, vemos que r² = 9.

x2+y2=r2x^{2} + y^{2} = r^{2}

De onde vem cada valor: x2+y2x^{2} + y^{2} = enunciado: x² + y² = 9 · r2r^{2} = enunciado: 9

x2+y2=9x^{2} + y^{2} = 9
NÃO CAIA NESSA!

Não reconhecer que a equação representa uma circunferência e tentar interpretar como outra figura.

Passo 2 — Calcular o raio da circunferência

Com a equação na forma x² + y² = r², o raio é a raiz quadrada do termo independente. Precisamos do valor numérico do raio para calcular o diâmetro.

Por que esta fórmula: O raio é a distância do centro até qualquer ponto da circunferência. Na equação reduzida, r² é o termo independente, então r = √(r²).

r = √(r^2)

De onde vem cada valor: r2r^{2} = passo 1: 9

r=9=3r = \sqrt{9} = \boxed{3}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de tirar a raiz quadrada e usar 9 como raio.

Passo 3 — Calcular o diâmetro da circunferência

A maior distância entre dois pontos de uma circunferência é o diâmetro, que é o dobro do raio. Agora que temos o raio, podemos calcular o diâmetro.

Por que esta fórmula: O diâmetro é a maior corda da circunferência, passando pelo centro. Ele mede o dobro do raio.

d=2⋅rd = 2 \cdot r

De onde vem cada valor: rr = passo 2: 3

d=2⋅3=6d = 2 \cdot 3 = \boxed{6}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir raio com diâmetro e responder 3.

Resposta: 6 (alternativa B)

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