Questão de Matemática — Geometria Plana — FGV 2025

Geometria Analítica — Paralelogramos

Gabarito: letra D. Em um paralelogramo $ABCD$, os vetores que formam lados opostos são iguais, ou seja, $\vec{AB} = \vec{DC}$ ou $\vec{AD} = \vec{BC}$. Utilizando a propriedade de que a soma das diagonais se encontra no ponto médio ou que o vetor $\vec{AD}$ deve ser igual ao vetor $\vec{BC}$, encontramos as coordenadas do ponto $D(x,y)$.

Para resolver, calculamos o vetor $\vec{BC} = C - B = (3 - 1, 3 - 1) = (2, 2)$. Como em um paralelogramo o lado $AD$ é paralelo e igual ao lado $BC$, temos $\vec{AD} = \vec{BC}$. Assim, $D - A = (2, 2)$, o que implica $D = A + (2, 2) = (-2 + 2, 1 + 2) = (0, 3)$.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O ponto $D(3,0)$ não mantém o paralelismo necessário. Se $D=(3,0)$, o vetor $\vec{AD} = (3 - (-2), 0 - 1) = (5, -1)$, que é diferente de $\vec{BC} = (2, 2)$.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O ponto $D(2,2)$ resultaria em um vetor $\vec{AD} = (2 - (-2), 2 - 1) = (4, 1)$, que não coincide com o vetor $\vec{BC}$.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O ponto $D(1,2)$ resultaria em um vetor $\vec{AD} = (1 - (-2), 2 - 1) = (3, 1)$, incorreto para a definição de paralelogramo com os vértices dados.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ Gabarito

Conforme demonstrado, o ponto $D(0,3)$ satisfaz a condição vetorial $\vec{AD} = \vec{BC}$, garantindo que $ABCD$ seja um paralelogramo no plano cartesiano.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O ponto $D(-1,3)$ resultaria em um vetor $\vec{AD} = (-1 - (-2), 3 - 1) = (1, 2)$, que não é igual a $\vec{BC}$.