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Questão de Matemática — Geometria Plana — FGV 2025

MatemáticaGeometria Plana
Código
fg124788
Banca
FGV
Órgão
MPE-RJ
Ano
2025
Nível
Superior
Considere um quadrado ABCD com lado igual a 10 e um arco de circunferência BD com centro no vértice A do quadrado. Esse arco BD divide o quadrado em duas regiões: ABD e CBD.A diferença entre os perímetros dessas duas regiões é
  1. A0.
  2. B5π.
  3. C10π.
  4. D15π.
  5. E20π.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 0.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 0 (alternativa A).

A ideia por trás

O perímetro de uma região plana é a soma dos comprimentos de todos os lados que a delimitam. Nesta questão, as duas regiões são formadas por dois lados do quadrado e pelo mesmo arco de circunferência. Como o quadrado tem todos os lados iguais, a soma dos dois lados de cada região é a mesma, e o arco é comum a ambas. Portanto, os perímetros são iguais e a diferença é zero, independentemente do comprimento do arco.

O que a questão dá

  • lado do quadrado = 10

  • arco BD com centro em A e raio 10

O que queremos: a diferença entre os perímetros das regiões ABD e CBD

Passo 1 — Identificar os lados de cada região

Para comparar os perímetros, precisamos saber quais segmentos formam o contorno de cada região. A região ABD é delimitada pelos lados AB e AD e pelo arco BD; a região CBD é delimitada pelos lados CB e CD e pelo mesmo arco.

NÃO CAIA NESSA!

Confundir quais lados pertencem a cada região, trocando AB por CB, por exemplo.

Passo 2 — Calcular a soma dos lados de cada região

Cada região tem dois lados do quadrado. Como o quadrado tem todos os lados iguais, a soma dos dois lados é a mesma para ambas as regiões.

Por que esta fórmula: A soma dos lados de uma região é a soma dos comprimentos dos segmentos que a limitam. Como AB = AD = CB = CD = 10, a soma é 10 + 10 = 20 para cada região.

SABD=AB+ADS_{ABD} = AB + AD

De onde vem cada valor: ABAB = enunciado: lado do quadrado = 10 · ADAD = enunciado: lado do quadrado = 10

SABD=10+10=20S_{ABD} = 10 + 10 = \boxed{20}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que os lados são iguais e tentar calcular medidas diferentes.

Passo 3 — Perceber que o arco é comum às duas regiões

O arco BD é o mesmo para ambas as regiões, então ele entra igualmente nos dois perímetros. Isso significa que, ao subtrair os perímetros, o arco se cancela.

NÃO CAIA NESSA!

Calcular o comprimento do arco e subtraí-lo, esquecendo que ele é comum.

Passo 4 — Subtrair os perímetros

A diferença entre os perímetros é a subtração das somas dos lados e do arco. Como as somas dos lados são iguais e o arco é o mesmo, a diferença é zero.

Por que esta fórmula: Perímetro da região ABD = AB + AD + arco, perímetro da região CBD = CB + CD + arco. Subtraindo: (AB + AD + arco) - (CB + CD + arco) = (AB + AD) - (CB + CD) = 20 - 20 = 0.

ΔP=(AB+AD+arco)−(CB+CD+arco)\Delta P = (AB + AD + arco) - (CB + CD + arco)

De onde vem cada valor: ABAB = passo 2: 10 · ADAD = passo 2: 10 · CBCB = passo 2: 10 · CDCD = passo 2: 10 · arcoarco = enunciado: arco BD comum

ΔP=(10+10+arco)−(10+10+arco)=0\Delta P = (10 + 10 + arco) - (10 + 10 + arco) = \boxed{0}
NÃO CAIA NESSA!

Tentar calcular o comprimento do arco e subtrair, obtendo um valor diferente de zero.

Resposta: 0 (alternativa A)

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