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Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — FGV 2025

MatemáticaAritmética e Problemas
Código
fg124789
Banca
FGV
Órgão
MPE-RJ
Ano
2025
Nível
Superior
Seja N = 64 / 3x + 1A soma dos valores inteiros de x para os quais o valor de N também é inteiro é
  1. A18.
  2. B15.
  3. C12.
  4. D10.
  5. E9.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 12.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a Soma = 12 — alternativa C.

A ideia por trás

Divisibilidade é a propriedade de um número ser dividido por outro sem deixar resto. Quando escrevemos uma fração como N = a/b, para que N seja um número inteiro, o denominador b precisa dividir o numerador a exatamente, ou seja, b deve ser um divisor de a. Os divisores de um número são todos os inteiros que o dividem sem sobrar nada, tanto positivos quanto negativos.

A relação central é: N inteiro ⇔ (3x + 1) divide 64. Isso significa que (3x + 1) deve ser um dos divisores de 64. Como 64 = 2^6, seus divisores positivos são 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, e os negativos são os mesmos com sinal trocado. Para cada divisor d, resolvemos 3x + 1 = d, obtendo x = (d - 1)/3, e só aceitamos se x for inteiro, ou seja, se (d - 1) for múltiplo de 3.

Esta questão cobra exatamente essa análise: listar todos os divisores de 64, testar quais geram x inteiro e somar esses valores. O erro clássico é esquecer os divisores negativos, que também produzem x inteiros.

O que a questão dá

  • N = 64 / (3x + 1)

  • x é inteiro

  • N deve ser inteiro

O que queremos: a soma dos valores inteiros de x para os quais N é inteiro

Passo 1 — Listar os divisores de 64

Para que N seja inteiro, o denominador (3x + 1) precisa ser um divisor de 64. Então o primeiro passo é conhecer todos os divisores possíveis, tanto positivos quanto negativos, porque o denominador pode ser negativo e ainda assim gerar N inteiro.

Por que esta fórmula: 64 = 2^6, então os divisores positivos são as potências de 2 de 2^0 até 2^6: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64. Os negativos são os simétricos: -1, -2, -4, -8, -16, -32, -64.

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, -1, -2, -4, -8, -16, -32, -64

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer os divisores negativos — eles são essenciais para achar todos os x.

Passo 2 — Testar cada divisor na equação

Cada divisor d do passo 1 pode ser o denominador. Para cada um, resolvemos 3x + 1 = d e verificamos se x é inteiro. Isso é necessário porque nem todo divisor gera x inteiro.

Por que esta fórmula: A equação vem direto da definição: se (3x + 1) = d, então x = (d - 1)/3. Precisamos que essa divisão seja exata.

x=d−13x = \frac{d - 1}{3}

De onde vem cada valor: dd = passo 1: cada divisor de 64

x=d−13x = \frac{d - 1}{3}
x=0 ,1,5,21,−1,−3,−11x = \boxed{0\ , 1, 5, 21, -1, -3, -11}
NÃO CAIA NESSA!

Aceitar x fracionário, como 1/3, sem perceber que não é inteiro.

Passo 3 — Somar os valores de x encontrados

A questão pede a soma dos valores inteiros de x que funcionam. Já temos todos eles do passo 2; agora é só somar.

Por que esta fórmula: Soma direta dos números: 0 + 1 + 5 + 21 + (-1) + (-3) + (-11).

S=0+1+5+21+(−1)+(−3)+(−11)S = 0 + 1 + 5 + 21 + (-1) + (-3) + (-11)

De onde vem cada valor: 0,1,5,21,−1,−3,−110, 1, 5, 21, -1, -3, -11 = passo 2

S=0+1+5+21−1−3−11=12S = 0 + 1 + 5 + 21 - 1 - 3 - 11 = \boxed{12}
NÃO CAIA NESSA!

Somar apenas os positivos (0+1+5+21=27) ou apenas os negativos (-1-3-11=-15), esquecendo que a soma é com todos.

Resposta: Soma = 12 — alternativa C

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