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Questão de Matemática — Progressões — FGV 2025

MatemáticaProgressões
Código
fg124814
Banca
FGV
Órgão
MPE-RJ
Ano
2025
Nível
Médio
Joana resolveu fazer uma poupança para uma compra futura e fez um planejamento para 18 meses conforme descrito a seguir:1. Nos 6 primeiros meses, começando com R$ 100,00 no primeiro mês e, a cada mês subsequente, R$ 100,00 a mais do que no mês anterior;2. Nos 6 meses seguintes, a mesma quantia a cada mês, igual à quantia poupada no 6º mês;3. Nos 6 últimos meses, a cada mês, R$ 100,00 a mais do que no mês anterior.Joana cumpriu seu planejamento rigorosamente.Ao final de 18 meses, considerando apenas as quantias poupadas, o valor total da poupança de Joana, em reais, foi de
  1. A1800.
  2. B3600.
  3. C7200.
  4. D11400.
  5. E12300.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 11400.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a R$ 11.400,00 (alternativa D).

A ideia por trás

Uma progressão aritmética (PA) é uma sequência em que cada termo é o anterior somado a uma constante (a razão). A soma dos n primeiros termos de uma PA é dada por S_n = (a_1 + a_n) * n / 2, onde a_1 é o primeiro termo e a_n é o último. Essa fórmula é útil para somar rapidamente muitos termos sem precisar somar um a um. Nesta questão, o planejamento é dividido em três blocos de 6 meses: o primeiro é uma PA crescente de razão 100, o segundo é constante (razão 0), e o terceiro é outra PA crescente de razão 100. Precisamos calcular a soma de cada bloco e depois somar os resultados.

O que a questão dá

  • primeiro bloco: 6 meses, começa em R$ 100,00 e aumenta R$ 100,00 por mês

  • segundo bloco: 6 meses, valor constante igual ao 6º mês

  • terceiro bloco: 6 meses, aumenta R$ 100,00 por mês

  • total de meses: 18

O que queremos: o valor total poupado ao final de 18 meses

Passo 1 — Listar os valores do primeiro bloco

O primeiro bloco é uma PA de 6 termos começando em 100 e aumentando 100 a cada mês. Precisamos conhecer o último termo (o 6º mês) para usar na fórmula da soma e também para o segundo bloco.

Por que esta fórmula: Para uma PA, o termo geral é a_n = a_1 + (n-1)*r. Aqui, a_1 = 100, r = 100, n = 6.

a6=a1+(6−1)⋅ra_6 = a_1 + (6-1) \cdot r

De onde vem cada valor: a1a_1 = enunciado: R$ 100,00 no primeiro mês · rr = enunciado: R$ 100,00 a mais a cada mês · 66 = enunciado: 6 primeiros meses

a6=100+5⋅100=100+500=600a_6 = 100 + 5 \cdot 100 = 100 + 500 = 600

a6a_6 = R$ 600,00

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar (n-1) e usar n, resultando em 700.

Passo 2 — Calcular a soma do primeiro bloco

Com o primeiro e o último termo do bloco, podemos aplicar a fórmula da soma da PA para obter o total poupado nos 6 primeiros meses.

Por que esta fórmula: A soma dos n primeiros termos de uma PA é a média entre o primeiro e o último termo multiplicada pelo número de termos: S_n = (a_1 + a_n) * n / 2.

S1=(a1+a6)⋅62S_1 = \frac{(a_1 + a_6) \cdot 6}{2}

De onde vem cada valor: a1a_1 = enunciado: R$ 100,00 · a6a_6 = passo 1: R$ 600,00 · 66 = enunciado: 6 meses

S1=(100+600)⋅62=700⋅62=700⋅3=2100S_1 = \frac{(100 + 600) \cdot 6}{2} = \frac{700 \cdot 6}{2} = 700 \cdot 3 = 2100

S1S_1 = R$ 2.100,00

NÃO CAIA NESSA!

Usar a fórmula errada, como n * (a_1 + a_n) sem dividir por 2, resultando em 4200.

Passo 3 — Calcular a soma do segundo bloco

O segundo bloco é constante: cada mês é igual ao 6º mês (R$ 600,00). Como são 6 meses, basta multiplicar o valor mensal pela quantidade de meses.

Por que esta fórmula: Para uma sequência constante, a soma é simplesmente o valor vezes o número de termos.

S2=600⋅6S_2 = 600 \cdot 6

De onde vem cada valor: 600600 = passo 1: valor do 6º mês · 66 = enunciado: 6 meses seguintes

S2=600⋅6=3600S_2 = 600 \cdot 6 = 3600

S2S_2 = R$ 3.600,00

NÃO CAIA NESSA!

Confundir e usar 100 ou outro valor, esquecendo que é o valor do 6º mês.

Passo 4 — Listar os valores do terceiro bloco

O terceiro bloco é outra PA crescente de razão 100, começando no 7º mês com R$ 700,00 (pois é R$ 100,00 a mais que o 6º mês). Precisamos do último termo (12º mês) para a soma.

Por que esta fórmula: Usamos o termo geral da PA novamente, com a_1 = 700, r = 100, n = 6.

a6=a1+(6−1)⋅ra_6 = a_1 + (6-1) \cdot r

De onde vem cada valor: a1a_1 = passo 1: 600 + 100 = 700 · rr = enunciado: R$ 100,00 a mais a cada mês · 66 = enunciado: 6 últimos meses

a6=700+5⋅100=700+500=1200a_6 = 700 + 5 \cdot 100 = 700 + 500 = 1200

a6a_6 = R$ 1.200,00

NÃO CAIA NESSA!

Começar com 600 em vez de 700, esquecendo que o terceiro bloco é 'a mais' que o anterior.

Passo 5 — Calcular a soma do terceiro bloco

Com o primeiro e o último termo do terceiro bloco, aplicamos a fórmula da soma da PA para obter o total dos 6 últimos meses.

Por que esta fórmula: Mesma fórmula da soma da PA: S_n = (a_1 + a_n) * n / 2.

S3=(a1+a6)⋅62S_3 = \frac{(a_1 + a_6) \cdot 6}{2}

De onde vem cada valor: a1a_1 = passo 4: R$ 700,00 · a6a_6 = passo 4: R$ 1.200,00 · 66 = enunciado: 6 meses

S3=(700+1200)⋅62=1900⋅62=1900⋅3=5700S_3 = \frac{(700 + 1200) \cdot 6}{2} = \frac{1900 \cdot 6}{2} = 1900 \cdot 3 = 5700

S3S_3 = R$ 5.700,00

NÃO CAIA NESSA!

Errar a soma 700+1200=1900, ou esquecer de dividir por 2.

Passo 6 — Somar os três blocos

O total poupado é a soma dos valores de cada bloco, pois são períodos consecutivos sem sobreposição.

Por que esta fórmula: A soma total é a adição das somas parciais.

S=S1+S2+S3S = S_1 + S_2 + S_3

De onde vem cada valor: S1S_1 = passo 2: R$ 2.100,00 · S2S_2 = passo 3: R$ 3.600,00 · S3S_3 = passo 5: R$ 5.700,00

S=2100+3600+5700=11400S = 2100 + 3600 + 5700 = 11400

SS = R$ 11.400,00

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar um dos blocos, ou errar a adição.

Resposta: R$ 11.400,00 (alternativa D)

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