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Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — FGV 2025

MatemáticaAritmética e Problemas
Código
fg124968
Banca
FGV
Órgão
PGM - RJ
Ano
2025
Nível
Superior
Em uma sala, há mais do que 22 e menos do que 32 jovens, dos quais 5/6 estão usando tênis e 3/4 estão usando boné.O número mínimo de jovens, nessa sala, que estão usando tanto tênis como boné, é:
  1. A12.
  2. B13.
  3. C14.
  4. D15.
  5. E16.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 14.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 14 jovens (alternativa C).

A ideia por trás

Este problema mistura frações de um total com a interseção de conjuntos. A primeira ideia é que o total de jovens precisa ser divisível por 6 e por 4, pois não faz sentido falar em 5/6 de um número que não seja múltiplo de 6 (o resultado seria um número fracionário de pessoas). O total também precisa estar no intervalo (22, 32). Os múltiplos comuns de 6 e 4 são os múltiplos de 12: 12, 24, 36... O único que cai no intervalo é 24.

A segunda ideia é a fórmula da união de dois conjuntos: se A é o conjunto dos que usam tênis e B o dos que usam boné, então |A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|. Como o total de jovens é 24, temos |A ∪ B| ≤ 24. Para minimizar a interseção, maximizamos a união — ou seja, fazemos |A ∪ B| = 24. Assim, |A ∩ B| = |A| + |B| - |A ∪ B| = 20 + 18 - 24 = 14. Esse é o número mínimo de jovens que usam tênis e boné simultaneamente. Se a união fosse menor que 24, a interseção seria maior — por isso o mínimo ocorre exatamente quando a união é máxima.

O que a questão dá

  • total de jovens entre 22 e 32

  • 5/6 usam tênis

  • 3/4 usam boné

O que queremos: o número mínimo de jovens que usam tênis e boné

Passo 1 — Descobrir o total de jovens possível

Precisamos saber quantos jovens há na sala para calcular quantos usam tênis e boné. Como as frações 5/6 e 3/4 devem resultar em números inteiros de pessoas, o total deve ser múltiplo de 6 e de 4 ao mesmo tempo, ou seja, múltiplo de 12. Além disso, o total está entre 22 e 32.

Por que esta fórmula: Para achar o total, listamos os múltiplos de 12 e vemos qual está no intervalo (22, 32).

M12={12,24,36,…}M_{12} = \{12, 24, 36, \ldots\}

De onde vem cada valor: M12M_{12} = múltiplos comuns de 6 e 4 (mínimo múltiplo comum = 12)

12,24,36,…=24 jovens12, 24, 36, \ldots = \boxed{24\ \text{jovens}}
NÃO CAIA NESSA!

Testar qualquer número entre 22 e 32 sem verificar se é múltiplo de 6 e 4 — por exemplo, 26 não serve.

Passo 2 — Calcular quantos usam tênis

Com o total de 24 jovens, podemos calcular quantos usam tênis: 5/6 de 24. Isso nos dá o tamanho do conjunto A.

Por que esta fórmula: Para achar uma fração de um total, multiplicamos a fração pelo total.

∣A∣=56×24|A| = \frac{5}{6} \times 24

De onde vem cada valor: 56\frac{5}{6} = enunciado: 5/6 usam tênis · 2424 = passo 1: total de jovens

∣A∣=56×24=20=20 jovens|A| = \frac{5}{6} \times 24 = 20 = \boxed{20\ \text{jovens}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar a fração pelo total — 5/6 sozinho não é um número de pessoas.

Passo 3 — Calcular quantos usam boné

Analogamente, calculamos quantos usam boné: 3/4 de 24. Isso nos dá o tamanho do conjunto B.

Por que esta fórmula: Mesma ideia: fração de um total é multiplicação.

∣B∣=34×24|B| = \frac{3}{4} \times 24

De onde vem cada valor: 34\frac{3}{4} = enunciado: 3/4 usam boné · 2424 = passo 1: total de jovens

∣B∣=34×24=18=18 jovens|B| = \frac{3}{4} \times 24 = 18 = \boxed{18\ \text{jovens}}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir 3/4 com 3/4 de 24 — 18, não 3.

Passo 4 — Aplicar a fórmula da união de conjuntos

Queremos o número de jovens que usam tênis E boné, ou seja, a interseção |A ∩ B|. A fórmula da união relaciona os tamanhos dos conjuntos: a união é a soma dos dois menos a interseção, porque quem está nos dois é contado duas vezes. Como o total de jovens é 24, a união não pode passar de 24. Para minimizar a interseção, fazemos a união ser o máximo possível, ou seja, 24.

Por que esta fórmula: A fórmula da união de dois conjuntos é a ferramenta certa para relacionar os tamanhos dos conjuntos e a interseção.

∣A∩B∣=∣A∣+∣B∣−∣A∪B∣|A \cap B| = |A| + |B| - |A \cup B|

De onde vem cada valor: ∣A∣|A| = passo 2: 20 · ∣B∣|B| = passo 3: 18 · ∣A∪B∣|A \cup B| = passo 1: total de jovens = 24 (máximo possível)

∣A∩B∣=20+18−24=14 jovens|A \cap B| = 20 + 18 - 24 = \boxed{14\ \text{jovens}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar a união como 22 ou outro valor menor que 24 — isso aumentaria a interseção, mas queremos o mínimo.

Resposta: 14 jovens (alternativa C)

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