Questão de Raciocínio Lógico — Geometria Básica — FGV 2025

Geometria Básica: distâncias entre vértices de um polígono regular

Gabarito: letra B — D₁ < D₂ = D₃. Em um decágono regular, a distância entre dois vértices depende do número de lados (arcos) que os separam: quanto maior o arco, maior a corda. D₁ liga V₁ a V₄ (3 lados de separação), enquanto D₂ liga V₂ a V₆ e D₃ liga V₅ a V₉ (ambas com 4 lados de separação). Como 3 < 4, a corda D₁ é menor que D₂ e D₃, que são iguais por simetria.

A questão explora a relação entre o número de lados que separam dois vértices de um polígono regular e o comprimento da corda (segmento que os une). Em um polígono regular convexo, todos os lados são congruentes e todos os ângulos internos são iguais. A distância entre dois vértices é uma corda da circunferência circunscrita ao polígono. O comprimento dessa corda é dado por:

onde $R$ é o raio da circunferência circunscrita e $\theta$ é o ângulo central correspondente ao arco entre os dois vértices. O ângulo central é diretamente proporcional ao número de lados (arcos) que separam os vértices: cada lado do polígono corresponde a um ângulo central de $\frac{360°}{n}$, onde $n$ é o número de lados. Para o decágono, $n = 10$, então cada lado corresponde a $36°$.

Assim, a distância entre dois vértices é função crescente do número de lados que os separam (no intervalo de 0 a metade do polígono). Vamos calcular quantos lados separam cada par:

• D₁ (V₁ a V₄): andando no sentido horário, de V₁ para V₄ passamos por V₂ e V₃, ou seja, 3 lados. O ângulo central é $3 \times 36° = 108°$.

• D₂ (V₂ a V₆): de V₂ para V₆ passamos por V₃, V₄ e V₅, ou seja, 4 lados. O ângulo central é $4 \times 36° = 144°$.

• D₃ (V₅ a V₉): de V₅ para V₉ passamos por V₆, V₇ e V₈, ou seja, 4 lados. O ângulo central é $4 \times 36° = 144°$.

Como o seno de $\frac{144°}{2} = 72°$ é maior que o seno de $\frac{108°}{2} = 54°$ (no intervalo de 0° a 90°, o seno é crescente), temos $D₂ = D₃ > D₁$. Portanto, a relação correta é $D₁ < D₂ = D₃$.

A pegadinha da banca está em não perceber que D₂ e D₃ têm o mesmo número de lados de separação, mesmo partindo de vértices diferentes. Muitos candidatos podem pensar que, por partirem de vértices diferentes, as distâncias seriam diferentes, mas a simetria do polígono regular garante que cordas com o mesmo número de arcos são congruentes.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que D₁ = D₂ = D₃. Isso seria verdade se os três pares de vértices estivessem separados pelo mesmo número de lados, o que não ocorre: D₁ tem 3 lados de separação, enquanto D₂ e D₃ têm 4. Como a corda cresce com o arco, D₁ é menor que as outras duas.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Correta porque D₁ (3 lados) é menor que D₂ e D₃ (4 lados), e D₂ = D₃ por simetria. A relação $D₁ < D₂ = D₃$ reflete exatamente a ordem das cordas.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma D₁ = D₂ < D₃. Isso implicaria que D₁ e D₂ têm o mesmo comprimento, mas eles têm números de lados diferentes (3 e 4), logo D₁ < D₂. Além disso, D₂ = D₃, não D₂ < D₃.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma D₂ < D₁ = D₃. Isso está duplamente errado: D₂ é maior que D₁ (4 lados > 3 lados), e D₁ não é igual a D₃ (3 lados ≠ 4 lados).

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma D₃ < D₁ = D₂. Isso também está errado: D₃ é igual a D₂ (ambos 4 lados) e maior que D₁ (3 lados). A relação correta é D₁ < D₂ = D₃.

Gabarito: letra B