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Questão de Matemática — Análise Combinatória em Matemática — FGV 2025

MatemáticaAnálise Combinatória em Matemática
Código
fg125025
Banca
FGV
Órgão
Prefeitura de Canaã dos Carajás - PA
Ano
2025
Nível
Fundamental
Deseja-se construir frações escolhendo-se tanto o numerador quanto o denominador entre os elementos do conjunto

A = {1,2,3,4}, de modo que o numerador seja menor do que o denominador.

A quantidade máxima de frações que podem ser construídas sob essas condições e representem quantidades diferentes é
  1. A6.
  2. B5.
  3. C4.
  4. D3.
  5. E2.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 5.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 5 frações distintas (alternativa B).

A ideia por trás

Frações representam quantidades: o número racional que resulta da divisão do numerador pelo denominador. Duas frações diferentes na escrita podem representar a mesma quantidade, como 1/2 e 2/4; essas são chamadas de equivalentes. Para contar quantidades diferentes, precisamos considerar apenas as frações irredutíveis, ou seja, aquelas em que numerador e denominador não têm divisor comum maior que 1. Nesta questão, listamos os pares ordenados (numerador, denominador) com numerador menor que o denominador, e depois eliminamos as frações equivalentes, contando apenas uma vez cada valor racional.

O que a questão dá

  • conjunto A = {1, 2, 3, 4}

  • numerador menor que o denominador

  • frações que representem quantidades diferentes

O que queremos: a quantidade máxima de frações distintas que podem ser construídas

Passo 1 — Listar os pares possíveis

Precisamos primeiro enumerar todas as combinações de numerador e denominador que satisfazem a condição 'numerador menor que o denominador'. Isso é uma contagem direta: para cada numerador, os denominadores possíveis são os números maiores que ele dentro do conjunto.

Por que esta fórmula: Não há fórmula; é uma listagem sistemática. Para cada numerador n, os denominadores possíveis são os elementos de A maiores que n.

Pares: (1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de incluir todos os pares, como (2,4) ou (3,4).

Passo 2 — Contar os pares listados

Agora que temos a lista, contamos quantos pares existem. Isso nos dá o total de frações possíveis antes de considerar a equivalência.

Por que esta fórmula: A contagem é direta: 3 pares com numerador 1, 2 com numerador 2, 1 com numerador 3, totalizando 3+2+1 = 6.

3+2+1=63 + 2 + 1 = 6

De onde vem cada valor: 33 = passo 1: pares com numerador 1 · 22 = passo 1: pares com numerador 2 · 11 = passo 1: pares com numerador 3

3+2+1=6=6 pares3 + 2 + 1 = 6 = \boxed{6\ \text{pares}}
NÃO CAIA NESSA!

Contar apenas os pares com denominador 4, obtendo 3, ou errar a soma.

Passo 3 — Identificar frações equivalentes

A questão pede 'quantidades diferentes', ou seja, valores racionais distintos. Frações equivalentes representam o mesmo número, então precisamos eliminá-las. A fração 2/4 pode ser simplificada dividindo numerador e denominador por 2, resultando em 1/2.

Por que esta fórmula: Duas frações são equivalentes se uma pode ser obtida da outra multiplicando ou dividindo numerador e denominador pelo mesmo número. Aqui, 2/4 = (2÷2)/(4÷2) = 1/2.

24=2÷24÷2=12\frac{2}{4} = \frac{2 \div 2}{4 \div 2} = \frac{1}{2}

De onde vem cada valor: 24\frac{2}{4} = passo 1: par (2,4) · 12\frac{1}{2} = passo 1: par (1,2)

24=2÷24÷2=12=2 /4eˊequivalentea1/2\frac{2}{4} = \frac{2 \div 2}{4 \div 2} = \frac{1}{2} = \boxed{2\ /4 é \text{equivalente} \text{a} 1/2}
NÃO CAIA NESSA!

Não perceber que 2/4 e 1/2 são a mesma quantidade, contando as duas como diferentes.

Passo 4 — Excluir a fração repetida

Como 2/4 representa a mesma quantidade que 1/2, devemos contar apenas uma delas. Removemos 2/4 da lista, mantendo 1/2.

Por que esta fórmula: A exclusão é uma decisão lógica: se duas frações são equivalentes, elas contam como uma única quantidade.

Lista final: 1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 3/4

NÃO CAIA NESSA!

Remover 1/2 em vez de 2/4, ou remover ambas, ficando com 4 frações.

Passo 5 — Contar as frações distintas

Agora temos a lista final sem repetições. Contamos quantas frações restaram para obter a resposta.

Por que esta fórmula: A contagem é direta: 1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 3/4 — são 5 frações.

55

De onde vem cada valor: 55 = passo 4: lista final

5=5 frac\co~es5 = \boxed{5\ \text{fra}çõ\text{es}}
NÃO CAIA NESSA!

Contar 6 novamente, esquecendo a exclusão do passo 4.

Resposta: 5 frações distintas (alternativa B)

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