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Questão de Matemática — Números Primos e Divisibilidade — FGV 2025

MatemáticaNúmeros Primos e Divisibilidade
Código
fg125028
Banca
FGV
Órgão
Prefeitura de Canaã dos Carajás - PA
Ano
2025
Nível
Fundamental
Joana possui uma quantidade N de laranjas maior do que 40 e menor do que 50.Se as N laranjas fossem agrupadas de 5 em 5 sobrariam duas. Se houvesse uma laranja a mais, elas poderiam ser agrupadas de 6 em 6 sem que sobrasse qualquer laranja.A soma dos algarismos de N é
  1. A11.
  2. B12.
  3. C13.
  4. D14.
  5. E15.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 11.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a A soma dos algarismos de N é 11, portanto alternativa A..

A ideia por trás

Divisibilidade é a propriedade de uma divisão ser exata, ou seja, o resto é zero. Quando dividimos um número por outro, o resto é o que sobra; por exemplo, 17 dividido por 5 dá quociente 3 e resto 2, pois 5×3=15 e 17−15=2. Nesta questão, usamos o resto para restringir os possíveis valores de N e depois a divisibilidade exata para escolher o correto. A condição 'N dividido por 5 deixa resto 2' significa que N−2 é múltiplo de 5, e 'N+1 é múltiplo de 6' significa que N+1 é divisível por 6. Vamos encontrar N testando os números no intervalo dado.

O que a questão dá

  • 40 < N < 50

  • N dividido por 5 deixa resto 2

  • N + 1 é múltiplo de 6

O que queremos: a soma dos algarismos de N

Passo 1 — Listar os números entre 40 e 50

Precisamos saber quais números são possíveis para N, pois o enunciado limita o intervalo. Isso reduz o universo de candidatos e facilita a verificação das condições.

41 ,42,43,44,45,46,47,48,49\boxed{41\ , 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que N é maior que 40 e menor que 50, incluindo 40 ou 50 por engano.

Passo 2 — Aplicar a condição do resto 2 na divisão por 5

A primeira condição diz que ao dividir N por 5 sobra 2. Isso significa que N−2 é múltiplo de 5. Vamos testar cada número da lista para ver quais satisfazem isso.

Por que esta fórmula: Um número N deixa resto 2 na divisão por 5 se, e somente se, N−2 é divisível por 5. Isso porque, se N = 5·q + 2, então N−2 = 5·q, que é múltiplo de 5.

N−2≡0(mod5)N - 2 \equiv 0 \pmod{5}

De onde vem cada valor: NN = passo 1: números entre 41 e 49 · 22 = enunciado: sobrariam duas laranjas

41−2=39,42−2=40,43−2=41,44−2=42,45−2=43,46−2=44,47−2=45,48−2=46,49−2=47=N∈42,4741-2=39, 42-2=40, 43-2=41, 44-2=42, 45-2=43, 46-2=44, 47-2=45, 48-2=46, 49-2=47 = \boxed{N ∈ {42, 47}}
NÃO CAIA NESSA!

Testar apenas os múltiplos de 5 e esquecer de somar o resto; por exemplo, pensar que N deve ser 40 ou 45, mas na verdade é 42 ou 47.

Passo 3 — Testar a condição de N+1 ser múltiplo de 6

A segunda condição diz que se houvesse uma laranja a mais, daria para agrupar de 6 em 6 sem sobrar. Isso significa que N+1 é divisível por 6. Temos apenas dois candidatos do passo anterior, então testamos cada um.

Por que esta fórmula: Se N+1 é múltiplo de 6, então N+1 = 6·k para algum inteiro k. Precisamos verificar se 42+1 e 47+1 são múltiplos de 6.

N+1=6⋅kN + 1 = 6 \cdot k

De onde vem cada valor: NN = passo 2: 42 ou 47 · 11 = enunciado: uma laranja a mais · 66 = enunciado: agrupadas de 6 em 6

42+1=43,47+1=4842+1=43, 47+1=48
N=47N = \boxed{47}
NÃO CAIA NESSA!

Testar apenas um dos candidatos ou esquecer de somar 1 antes de verificar a divisibilidade.

Passo 4 — Calcular a soma dos algarismos de N

Agora que sabemos que N = 47, precisamos somar seus algarismos para responder à pergunta.

Por que esta fórmula: A soma dos algarismos de um número é a adição de cada dígito que o compõe. Para 47, os algarismos são 4 e 7.

S=4+7S = 4 + 7

De onde vem cada valor: 44 = passo 3: N = 47, algarismo das dezenas · 77 = passo 3: N = 47, algarismo das unidades

S=4+7=11S = 4 + 7 = \boxed{11}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir a ordem dos algarismos ou somar 4+7 como 11, mas errar na conta.

Resposta: A soma dos algarismos de N é 11, portanto alternativa A.

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