Matemática · FGV · 2025 | Questão sqc-fg125031

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 7 formas (letra D).

A ideia por trás

O princípio fundamental da contagem (ou princípio multiplicativo) diz que, se uma escolha tem m maneiras e outra tem n maneiras, juntas têm m × n maneiras. Aqui, cada lâmpada é uma escolha independente com 2 opções (ligada ou desligada), então o total de combinações possíveis é 2 × 2 × 2 = 8. Mas o problema impõe uma condição: o corredor só fica iluminado se pelo menos uma lâmpada estiver acesa. Isso significa que devemos excluir a única combinação em que todas estão desligadas. Assim, o número de formas válidas é 8 − 1 = 7.

O que a questão dá

3 lâmpadas
cada lâmpada pode estar ligada ou desligada
iluminado se pelo menos uma lâmpada estiver ligada

O que queremos: o número de formas distintas de iluminar o corredor

Passo 1 — Calcular o total de combinações

Precisamos primeiro saber quantas maneiras existem de ligar e desligar as lâmpadas sem nenhuma restrição. Como cada lâmpada tem 2 estados e são 3 lâmpadas independentes, usamos o princípio multiplicativo: multiplicamos as possibilidades de cada uma.

Por que esta fórmula: O princípio fundamental da contagem: se uma escolha tem m opções e outra tem n opções, juntas têm m × n. Aqui, cada lâmpada é uma escolha com 2 opções, então o total é 2 × 2 × 2.

T = 2 \times 2 \times 2

De onde vem cada valor: $2$ = cada lâmpada: ligada ou desligada · $2 \times 2 \times 2$ = três lâmpadas independentes

T = 2 \times 2 \times 2 = \boxed{8\ \text{combina}çõ\text{es}}

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar as três lâmpadas e contar apenas 2 + 2 + 2 = 6, mas o princípio é multiplicativo, não aditivo.

Passo 2 — Excluir o caso sem luz

O total de 8 combinações inclui o caso em que todas as lâmpadas estão desligadas, mas esse caso não ilumina o corredor. O enunciado exige que pelo menos uma lâmpada esteja ligada, então precisamos subtrair essa única combinação.

Por que esta fórmula: A condição 'pelo menos uma' é o complemento de 'nenhuma'. Como só existe 1 maneira de nenhuma lâmpada estar ligada, subtraímos 1 do total.

F = T - 1

De onde vem cada valor: $T$ = passo 1: 8 combinações · $1$ = única combinação com todas desligadas

F = 8 - 1 = \boxed{7\ \text{formas}}

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de subtrair o caso 'todas desligadas' e marcar 8 (alternativa E).

Resposta: 7 formas (letra D)