GabaritoD — (2,4).
Gabarito: letra D. Os pontos A(2,0) e B(0,2) são vértices consecutivos do quadrado ABCD. O vetor AB = B − A = (−2, 2). Para obter os outros vértices, giramos esse vetor em 90° (no sentido anti-horário para o 1º quadrante), obtendo o vetor (2, 2). Assim, C = B + (2,2) = (2,4) e D = A + (2,2) = (4,2). Portanto, um dos vértices é (2,4), que corresponde à alternativa D.
Vamos entender o raciocínio por trás da construção do quadrado. No plano cartesiano, um quadrado é formado por quatro pontos, com lados consecutivos perpendiculares e de mesmo comprimento. Dados dois vértices consecutivos, o vetor que os une define a direção e o comprimento do lado. Para encontrar os demais vértices, aplicamos uma rotação de 90° nesse vetor, o que gera o vetor do lado adjacente.
No caso, o vetor AB = (−2, 2). Uma rotação de 90° no sentido anti-horário transforma (x, y) em (−y, x). Aplicando a AB: (−2, 2) → (−2, −2)? Não, cuidado: a rotação anti-horária de (x,y) é (−y, x). Então (−2, 2) → (−2, −2)? Vamos calcular: (−y, x) = (−2, −2). Isso daria um vetor que aponta para baixo, o que não nos interessa, pois queremos o 1º quadrante. A rotação no sentido horário de (x,y) é (y, −x). Aplicando: (−2, 2) → (2, 2). Esse vetor aponta para cima e para a direita, o que nos leva ao 1º quadrante. Portanto, o lado adjacente é dado pelo vetor (2, 2).
Assim, partindo de B(0,2) e somando o vetor (2,2), obtemos C(2,4). Partindo de A(2,0) e somando o mesmo vetor, obtemos D(4,2). Os quatro vértices são A(2,0), B(0,2), C(2,4) e D(4,2). Note que o quadrado tem lado , e os lados AB e BC são perpendiculares, pois o produto escalar AB·BC = (−2,2)·(2,2) = −4 + 4 = 0.
A pegadinha da questão está em identificar corretamente o sentido da rotação. Muitos candidatos aplicam a rotação anti-horária e obtêm vetores que levam a pontos fora do 1º quadrante, como (0,0) ou (−2,2). A condição de que os demais vértices estejam no 1º quadrante é crucial para escolher o sentido correto.
O ponto (2,2) não é vértice do quadrado. Ele seria o ponto médio do segmento que liga A(2,0) a C(2,4), mas não é um vértice. Na verdade, (2,2) é o centro do quadrado, pois é a média das coordenadas dos vértices: ((2+0+2+4)/4, (0+2+4+2)/4) = (2,2).
O ponto (4,4) está fora do quadrado. Se traçarmos o quadrado com vértices A(2,0), B(0,2), C(2,4) e D(4,2), o ponto (4,4) fica no canto superior direito, além do vértice D. Não pertence ao quadrado.
O ponto (4,0) está no eixo x, à direita de A. Ele não é vértice, pois o quadrado se estende para cima a partir de A, não para a direita. O vértice D é (4,2), não (4,0).
O ponto (2,4) é exatamente o vértice C, obtido somando o vetor (2,2) ao ponto B(0,2). Ele está no 1º quadrante e completa o quadrado com os demais vértices.
O ponto (0,4) está no eixo y, acima de B. Ele não é vértice, pois o quadrado se estende para a direita a partir de B, não para cima. O vértice C é (2,4), não (0,4).
A banca explora a confusão entre os sentidos de rotação. Se você aplicar a rotação anti-horária ao vetor AB, obtém (−2,−2), que levaria a pontos como (0,0) e (−2,−2), fora do 1º quadrante. A condição do enunciado força a rotação horária, que gera o vetor (2,2). Fique atento: sempre verifique se os pontos resultantes satisfazem as condições do problema.
Para resolver questões de geometria com quadrados no plano cartesiano, use vetores. Dado um lado, o lado adjacente é obtido por rotação de 90°. Teste os dois sentidos e veja qual produz pontos nas regiões pedidas. Isso evita erros de sinal e garante a resposta correta.
Gabarito: letra D
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