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Questão de Matemática — Geometria Plana — FGV 2025

MatemáticaGeometria Plana
Código
fg125238
Banca
FGV
Órgão
Prefeitura de São José dos Campos - SP
Ano
2025
Nível
Superior
Cada vértice de um quadrado ABCD está sobre um lado do quadrado EFGH. O vértice A está sobre o lado EF, de tal forma que EA = 4 e AF = 2.A razão entre a área do quadrado ABCD e a área do quadrado EFGH é igual a
  1. A5/9
  2. B4/9 .
  3. C1/3 .
  4. D2/3 .
  5. E1/2 .
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GabaritoA — 5/9

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 5/9 (alternativa A).

A ideia por trás

A área de um quadrado é a medida do seu lado elevada ao quadrado. Quando um quadrado está inscrito em outro, com cada vértice sobre um lado, os lados do quadrado interno formam triângulos retângulos nos cantos do quadrado externo. A razão entre as áreas de dois quadrados é o quadrado da razão entre seus lados. Nesta questão, o lado do quadrado interno é a hipotenusa de um triângulo retângulo de catetos 4 e 2, e o lado do externo é a soma desses catetos.

O que a questão dá

  • EA = 4

  • AF = 2

  • lado do quadrado EFGH = EA + AF = 6

O que queremos: a razão entre a área do quadrado ABCD e a área do quadrado EFGH

Passo 1 — Descobrir o lado do quadrado externo

O lado do quadrado EFGH é formado pelos segmentos EA e AF, que estão sobre o mesmo lado EF. Somando esses segmentos obtemos a medida do lado do quadrado externo, que será usada para calcular sua área.

Por que esta fórmula: O lado EF é a soma das partes EA e AF, pois A está sobre EF.

EF=EA+AFEF = EA + AF

De onde vem cada valor: EAEA = enunciado: EA = 4 · AFAF = enunciado: AF = 2

EF=4+2EF = 4 + 2
EF=6EF = \boxed{6}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar e usar apenas um dos segmentos como lado do quadrado externo.

Passo 2 — Achar o lado do quadrado interno

O lado AB do quadrado interno é a hipotenusa do triângulo retângulo formado pelos catetos EA e AF. Precisamos do seu comprimento para calcular a área do quadrado interno.

Por que esta fórmula: No triângulo retângulo com catetos EA e AF, o lado AB é a hipotenusa, então usamos o Teorema de Pitágoras.

AB = √(EA^2 + AF^2)

De onde vem cada valor: EAEA = enunciado: EA = 4 · AFAF = enunciado: AF = 2

AB = √(4^2 + 2^2 = √(16 + 4) = √(20))
AB=25AB = \boxed{2\sqrt{5}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar apenas um cateto como lado do quadrado interno, ignorando o triângulo retângulo.

Passo 3 — Calcular a área do quadrado interno

A área de um quadrado é o quadrado do seu lado. Com o lado AB conhecido, calculamos a área do quadrado ABCD.

Por que esta fórmula: A área de um quadrado é lado vezes lado, ou seja, lado ao quadrado.

AABCD=AB2A_{ABCD} = AB^{2}

De onde vem cada valor: ABAB = passo 2: 25\sqrt{5}

AABCD=(25)2=4⋅5=20=20A_{ABCD} = (2\sqrt{5})^{2} = 4 \cdot 5 = 20 = \boxed{20}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de elevar ao quadrado o coeficiente 2, resultando em 25\sqrt{5} em vez de 20.

Passo 4 — Calcular a área do quadrado externo

Com o lado do quadrado externo conhecido, calculamos sua área para depois comparar com a área do interno.

Por que esta fórmula: A área de um quadrado é o quadrado do seu lado.

AEFGH=EF2A_{EFGH} = EF^{2}

De onde vem cada valor: EFEF = passo 1: 6

AEFGH=62=36=36A_{EFGH} = 6^{2} = 36 = \boxed{36}
NÃO CAIA NESSA!

Usar o lado errado, como 4 ou 2, em vez de 6.

Passo 5 — Dividir as áreas para obter a razão

A razão entre as áreas é a divisão da área do quadrado interno pela área do externo. Com as duas áreas calculadas, fazemos a divisão.

Por que esta fórmula: Razão entre duas grandezas é a divisão de uma pela outra, na ordem pedida.

raza˜o=AABCDAEFGH\text{razão} = \frac{A_{ABCD}}{A_{EFGH}}

De onde vem cada valor: AABCDA_{ABCD} = passo 3: 20 · AEFGHA_{EFGH} = passo 4: 36

raza˜o=2036=59\text{razão} = \frac{20}{36} = \boxed{\frac{5}{9}}
NÃO CAIA NESSA!

Calcular a razão entre os lados 25/62\sqrt{5}/6 e não elevar ao quadrado, resultando em 5\sqrt{5}/3, que não é a razão entre as áreas.

Resposta: 5/9 (alternativa A)

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