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Questão de Matemática — Geometria Plana — FGV 2025

MatemáticaGeometria Plana
Código
fg125243
Banca
FGV
Órgão
Prefeitura de São José dos Campos - SP
Ano
2025
Nível
Superior
As medidas em centímetros dos lados de um triângulo são, respectivamente, a = 7,5, b = 11 e c = x, onde x é um número inteiro.O número de valores possíveis para x é igual a
  1. A11.
  2. B12.
  3. C13.
  4. D14.
  5. E15.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — 15.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 15 valores (alternativa E).

A ideia por trás

A condição de existência de um triângulo, também chamada de desigualdade triangular, é a regra que garante que três segmentos de reta conseguem se fechar formando um triângulo. No mundo real, ela diz que o caminho mais curto entre dois pontos é a linha reta: para ir de um vértice a outro passando pelo terceiro, o caminho tem que ser maior que o caminho direto. Em termos de medidas, isso significa que cada lado deve ser menor que a soma dos outros dois e maior que a diferença entre eles (em valor absoluto). Essa condição é necessária e suficiente: se qualquer uma das três desigualdades falhar, os segmentos não formam triângulo, ficam 'abertos' ou colineares.

A relação que governa é: para lados a, b e c, valem as três desigualdades: a < b + c, b < a + c e c < a + b. Cada uma delas garante que um lado não é grande demais em relação aos outros. Se um lado for exatamente igual à soma dos outros, os três pontos ficam alinhados (triângulo degenerado), e se for maior, não dá para fechar a figura. Por isso as desigualdades são estritas (menor, não menor ou igual). Quando um lado cresce, os outros dois precisam ser capazes de 'alcançá-lo'; quando um lado diminui, ele precisa ser maior que a diferença dos outros para não 'sumir'.

Nesta questão, temos dois lados fixos (7,5 e 11) e um lado variável x. Aplicando a desigualdade triangular, vamos descobrir um intervalo para x, e como x é inteiro, contamos quantos inteiros cabem nesse intervalo. O ponto-chave é lembrar que os extremos não valem, porque o triângulo não pode ser degenerado.

O que a questão dá

  • a = 7,5 cm

  • b = 11 cm

  • c = x cm, x inteiro

O que queremos: o número de valores inteiros possíveis para x

Passo 1 — Escrever as três desigualdades

A condição de existência do triângulo exige que cada lado seja menor que a soma dos outros dois. Como temos três lados, precisamos verificar as três combinações possíveis: x com 7,5 e 11, 7,5 com x e 11, e 11 com x e 7,5. Escrever as três desigualdades é o primeiro passo para descobrir quais valores de x são permitidos.

Por que esta fórmula: A desigualdade triangular é a única regra que decide se três segmentos formam triângulo. Para cada lado, ele deve ser menor que a soma dos outros dois. Então montamos as três inequações.

x<7,5+11;7,5<11+x;11<7,5+xx < 7{,}5 + 11 \quad ; \quad 7{,}5 < 11 + x \quad ; \quad 11 < 7{,}5 + x

De onde vem cada valor: xx = enunciado: lado c · 7,57{,}5 = enunciado: lado a · 1111 = enunciado: lado b

x<18,5;7,5<11+x;11<7,5+xx < 18{,}5 \quad ; \quad 7{,}5 < 11 + x \quad ; \quad 11 < 7{,}5 + x
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de escrever as três desigualdades e considerar apenas uma, como x < 18,5, o que daria um intervalo errado.

Passo 2 — Simplificar as duas últimas desigualdades

As duas últimas desigualdades têm o x somado a um número, e precisamos isolar o x para saber o limite inferior. Isolar a incógnita é uma manipulação algébrica básica: subtraímos o mesmo número dos dois lados para manter a desigualdade verdadeira.

Por que esta fórmula: Para descobrir o intervalo de x, precisamos de expressões do tipo x > número. Subtraindo 11 dos dois lados da segunda e 7,5 dos dois lados da terceira, obtemos as condições para x.

7,5<11+x⇒x>7,5−1111<7,5+x⇒x>11−7,57{,}5 < 11 + x \Rightarrow x > 7{,}5 - 11 \\ 11 < 7{,}5 + x \Rightarrow x > 11 - 7{,}5

De onde vem cada valor: 7,57{,}5 = enunciado: lado a · 1111 = enunciado: lado b

x>−3,5;x>3,5x > -3{,}5 \quad ; \quad x > 3{,}5

x > 3,5 (a condição x > -3,5 é sempre verdadeira para x positivo)

NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal ao subtrair: por exemplo, escrever x > 11 - 7,5 = 3,5, mas esquecer que a primeira dá x > -3,5, que não limita nada.

Passo 3 — Combinar as condições no intervalo

Agora temos três condições: x < 18,5, x > -3,5 e x > 3,5. A condição x > -3,5 é irrelevante porque x é positivo (medida de lado), então o limite inferior que vale é x > 3,5. Juntando com o limite superior, obtemos o intervalo onde x pode estar.

Por que esta fórmula: O intervalo é a interseção das condições: x deve ser maior que 3,5 e menor que 18,5 ao mesmo tempo. Isso se escreve como uma dupla desigualdade.

3,5<x<18,53{,}5 < x < 18{,}5

De onde vem cada valor: 3,53{,}5 = passo 2: x > 3,5 · 18,518{,}5 = passo 1: x < 18,5

3,5<x<18,5=3,5 <x<18,53{,}5 < x < 18{,}5 = \boxed{3{,}5\ < \text{x} < 18,5}
NÃO CAIA NESSA!

Incluir os extremos, pensando que x pode ser 3,5 ou 18,5, mas isso daria triângulo degenerado (lados colineares).

Passo 4 — Listar os inteiros do intervalo

O problema pede o número de valores inteiros possíveis para x. Como o intervalo é aberto (3,5 e 18,5 não valem), os inteiros que satisfazem são os que estão estritamente entre esses números. Precisamos listá-los para contar.

Por que esta fórmula: Não há fórmula; é uma contagem direta. O menor inteiro maior que 3,5 é 4, e o maior inteiro menor que 18,5 é 18. Então os inteiros são 4, 5, 6, ..., 18.

4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18

NÃO CAIA NESSA!

Começar a contar do 5 ou terminar no 17, esquecendo que 4 e 18 também valem.

Passo 5 — Contar os inteiros listados

Agora que temos a lista, precisamos contar quantos números há. Contar de 4 a 18 inclusive pode ser feito subtraindo o menor do maior e somando 1, porque ambos os extremos estão incluídos.

Por que esta fórmula: A quantidade de inteiros de um intervalo fechado [m, n] é n - m + 1. Aqui m = 4 e n = 18, então a conta é 18 - 4 + 1.

n=18−4+1n = 18 - 4 + 1

De onde vem cada valor: 1818 = passo 4: maior inteiro do intervalo · 44 = passo 4: menor inteiro do intervalo

n=18−4+1=15=15 valoresn = 18 - 4 + 1 = 15 = \boxed{15\ \text{valores}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar 1, contando 18 - 4 = 14, o que daria a alternativa D.

Resposta: 15 valores (alternativa E)

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