Raciocínio Lógico · FGV · 2025 | Questão sqc-fg125252

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 10 maneiras — alternativa E.

A ideia por trás

Quando temos objetos repetidos, como 4 letras A iguais e 2 letras B iguais, o número de maneiras de organizá-los é dado pela permutação com repetição. A fórmula é o fatorial do total de objetos dividido pelo produto dos fatoriais das quantidades de cada tipo repetido. Isso conta cada arranjo uma única vez, mesmo que as letras iguais sejam trocadas entre si.

A permutação com repetição de n objetos, com n1 iguais, n2 iguais, etc., é P = n! / (n1! · n2! · ...). Por exemplo, com 6 letras sendo 4 A e 2 B, o total é 6! / (4! · 2!) = 15. Quando há uma restrição, como 'as B não podem ficar juntas', uma estratégia é calcular o total e subtrair os casos proibidos. Para contar os casos proibidos, tratamos o bloco 'BB' como um único objeto, reduzindo o número de objetos a permutar.

Esta questão pede exatamente isso: primeiro calcular o total de permutações com repetição, depois subtrair os casos em que as duas B estão juntas, contando-os como um bloco único.

O que a questão dá

4 letras A
2 letras B
condição: as duas B não podem ficar juntas

O que queremos: o número de maneiras de dispor as letras sem que as duas B fiquem juntas

Passo 1 — Calcular o total de disposições sem restrição

Antes de aplicar a condição de que as B não podem ficar juntas, precisamos saber quantas maneiras existem de organizar as 6 letras sem nenhuma restrição. Isso nos dá o universo de possibilidades.

Por que esta fórmula: Como temos 4 letras A idênticas e 2 letras B idênticas, usamos a permutação com repetição: dividimos o fatorial do total (6!) pelo produto dos fatoriais das repetições (4! e 2!).

P_{6}^{(4{,}2)} = \frac{6!}{4! \cdot 2!}

De onde vem cada valor: $6!$ = constante: 6! = 720 · $4!$ = constante: 4! = 24 · $2!$ = constante: 2! = 2

P = \frac{720}{24 \times 2} = \boxed{15}

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de dividir pelas repetições e calcular 6! = 720, o que daria um número muito maior.

Passo 2 — Contar os casos em que as B ficam juntas

A condição do problema é que as B não podem ficar juntas. Para subtrair os casos proibidos, precisamos contar quantos arranjos têm as duas B vizinhas.

Por que esta fórmula: Tratamos o bloco 'BB' como um único objeto. Assim, temos 5 objetos: o bloco 'BB' e as 4 letras A. Como as A são idênticas, a permutação é 5! / 4!.

P_{5}^{(4)} = \frac{5!}{4!}

De onde vem cada valor: $5!$ = constante: 5! = 120 · $4!$ = constante: 4! = 24

P = \frac{120}{24} = \boxed{5}

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que as A são idênticas e calcular 5! = 120, contando arranjos repetidos.

Passo 3 — Subtrair os casos proibidos do total

O total de arranjos inclui tanto os permitidos quanto os proibidos. Para obter apenas os permitidos, subtraímos os casos em que as B estão juntas.

Por que esta fórmula: A contagem é direta: total de arranjos menos arranjos com B juntas = arranjos com B separadas.

\text{permitidos} = \text{total} - \text{proibidos}

De onde vem cada valor: $total$ = passo 1: 15 · $proibidos$ = passo 2: 5

\text{permitidos} = 15 - 5 = \boxed{10}

NÃO CAIA NESSA!

Somar em vez de subtrair, obtendo 20.

Resposta: 10 maneiras — alternativa E

Questão de Raciocínio Lógico — Análise Combinatória em Raciocínio Lógico — FGV 2025

Resolução

A ideia por trás

O que a questão dá

Passo 1 — Calcular o total de disposições sem restrição

Passo 2 — Contar os casos em que as B ficam juntas

Passo 3 — Subtrair os casos proibidos do total