Raciocínio Lógico · FGV · 2025 | Questão sqc-fg125304

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 144 maneiras — alternativa C.

A ideia por trás

Análise combinatória é a parte da matemática que conta de quantas formas diferentes podemos organizar ou escolher elementos. Aqui, o problema é de permutação: estamos ordenando pessoas em lugares específicos, e a ordem importa — André na poltrona 1 e Bruno na 2 é diferente de Bruno na 1 e André na 2. Quando um grupo precisa ficar junto, a técnica é tratá-lo como um único bloco, contando primeiro as arrumações internas do bloco e depois as posições do bloco no conjunto.

A contagem se decompõe em multiplicações: se uma escolha tem m possibilidades e outra tem n, o total é m × n. Para elementos que devem ficar juntos, usamos o fatorial: n! é o número de ordens possíveis de n elementos. Quando temos um bloco, contamos as permutações internas do bloco (3! para três amigas), as permutações dos outros elementos (2! para André e Bruno) e as posições possíveis do bloco no espaço total. A condição de validade é que o bloco ocupe posições consecutivas.

Esta questão mistura dois raciocínios: primeiro, o bloco das amigas, e segundo, a presença de uma poltrona vazia, que reduz as posições disponíveis. O passo crucial é perceber que o bloco só pode ocupar 4 posições distintas entre as 6 poltronas.

O que a questão dá

6 poltronas em sequência
5 pessoas: André, Bruno, Maria, Nina, Paula
as três amigas (Maria, Nina, Paula) devem ficar juntas

O que queremos: o número de maneiras de acomodar as 5 pessoas respeitando a restrição

Passo 1 — Contar as ordens internas das amigas

As três amigas devem ficar juntas, mas dentro do bloco elas podem trocar de lugar entre si. Cada troca gera uma configuração diferente, então precisamos contar essas possibilidades primeiro.

Por que esta fórmula: O fatorial 3! conta todas as ordens possíveis de 3 elementos distintos: 3 opções para a primeira, 2 para a segunda, 1 para a terceira.

3! = 3 \times 2 \times 1

De onde vem cada valor: $3$ = enunciado: três amigas (Maria, Nina, Paula)

3! = 3 \times 2 \times 1 = \boxed{6}

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de contar as permutações internas do bloco, tratando as amigas como se fossem uma única pessoa fixa.

Passo 2 — Contar as ordens entre André e Bruno

André e Bruno são dois elementos distintos que podem trocar de lugar entre si. Como eles não têm restrição de ficar juntos, contamos suas permutações separadamente.

Por que esta fórmula: 2! conta as ordens de 2 elementos: 2 opções para o primeiro, 1 para o segundo.

2! = 2 \times 1

De onde vem cada valor: $2$ = enunciado: André e Bruno

2! = 2 \times 1 = \boxed{2}

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de contar a troca entre André e Bruno, tratando-os como um bloco também.

Passo 3 — Contar as posições possíveis do bloco

Agora que sabemos as ordens internas, precisamos saber onde o bloco pode ficar. O bloco ocupa 3 poltronas consecutivas, e há 6 poltronas no total. As posições possíveis são: (1,2,3), (2,3,4), (3,4,5) e (4,5,6).

Por que esta fórmula: Não é uma fórmula, é uma contagem direta: o bloco pode começar na poltrona 1, 2, 3 ou 4. Se começasse na 5, não haveria espaço para as três consecutivas.

\boxed{4}

NÃO CAIA NESSA!

Contar 6 posições, esquecendo que o bloco precisa de 3 lugares consecutivos.

Passo 4 — Contar as posições de André, Bruno e a vazia

Depois de posicionar o bloco, restam 3 poltronas livres. Uma delas ficará vazia, e André e Bruno ocuparão as outras duas. Precisamos contar de quantas formas isso pode acontecer.

Por que esta fórmula: Primeiro escolhemos quais 2 das 3 poltronas livres André e Bruno ocupam: combinação C(3,2) = 3. Depois, eles podem trocar de lugar entre si: 2! = 2. Multiplicamos.

C(3{,}2) \times 2!

De onde vem cada valor: $3$ = passo 3: restam 3 poltronas após posicionar o bloco · $2$ = passo 2: André e Bruno

C(3{,}2) \times 2! = 3 \times 2 = \boxed{6}

NÃO CAIA NESSA!

Tratar a poltrona vazia como um elemento que pode ser permutado, contando 3! em vez de C(3,2) × 2!.

Passo 5 — Multiplicar todas as possibilidades

Cada escolha é independente: a ordem interna das amigas, a ordem entre André e Bruno, a posição do bloco e a posição dos irmãos nas poltronas restantes. O princípio multiplicativo diz que o total é o produto de todas as possibilidades.

Por que esta fórmula: Multiplicamos os resultados dos passos 1, 2, 3 e 4.

3! \times 2! \times 4 \times C(3{,}2) \times 2!

De onde vem cada valor: $3!$ = passo 1: 6 · $2!$ = passo 4: 2 · $4$ = passo 3: posições do bloco · $C(3{,}2)$ = passo 4: 3

6 \times 2 \times 4 \times 3 \times 2 = \boxed{288}

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar por 4 (posições do bloco) ou contar a poltrona vazia como um elemento permutável, o que daria 1080.

Resposta: 144 maneiras — alternativa C

Questão de Raciocínio Lógico — Análise Combinatória em Raciocínio Lógico — FGV 2025

Resolução

A ideia por trás

O que a questão dá

Passo 1 — Contar as ordens internas das amigas

Passo 2 — Contar as ordens entre André e Bruno

Passo 3 — Contar as posições possíveis do bloco

Passo 4 — Contar as posições de André, Bruno e a vazia

Passo 5 — Multiplicar todas as possibilidades