Estatística · FGV · 2025 | Questão sqc-fg125578

Distribuição Binomial: probabilidade de exatamente k sucessos

Gabarito: letra C. A probabilidade de exatamente 2 dos 4 eleitores sorteados terem votado no candidato C é de aproximadamente 4,9%. Isso porque o sorteio com reposição configura um experimento binomial com n = 4 tentativas independentes, probabilidade de sucesso p = 0,10 e k = 2 sucessos, e a fórmula $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ fornece $6 \times 0,01 \times 0,81 = 0,0486$ , que arredonda para 4,9%.

A questão cobra o reconhecimento do modelo binomial. Quando um experimento é repetido um número fixo de vezes (n), cada repetição tem dois resultados possíveis (sucesso/fracasso), as repetições são independentes e a probabilidade de sucesso (p) é constante, estamos diante de uma distribuição binomial. O sorteio com reposição garante a independência entre as extrações, pois a população é reposta a cada sorteio, mantendo as probabilidades inalteradas. Se fosse sem reposição, o modelo correto seria a distribuição hipergeométrica.

A fórmula geral da binomial é:

P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

em que $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ é o número de combinações de n elementos tomados k a k. No caso, n = 4, k = 2, p = 0,10 e (1 − p) = 0,90. Substituindo:

P(X = 2) = \binom{4}{2} \times 0,10^2 \times 0,90^{2} = 6 \times 0,01 \times 0,81 = 0,0486

Convertendo para porcentagem: 0,0486 × 100 = 4,86%, que é aproximadamente 4,9%.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre com reposição e sem reposição. Com reposição, cada sorteio é independente e a probabilidade de sucesso permanece constante — modelo binomial. Sem reposição, a probabilidade muda a cada extração e o modelo correto seria a hipergeométrica. Aqui, o enunciado diz explicitamente "com reposição", então a binomial é a escolha certa. Fique atento a essa palavra-chave!

1Identificar n, p, k
2Calcular combinação C(n,k)
3Aplicar p^k e (1-p)^(n-k)
4Multiplicar e converter em %

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Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 0,1% corresponderia a calcular apenas $0,10^2 \times 0,90^2 = 0,0081$ (0,81%), ou seja, esquecer o coeficiente binomial $\binom{4}{2} = 6$ . Sem multiplicar pelas combinações, a probabilidade seria 0,81%, não 0,1%. O número 0,1% não tem correspondência direta com nenhum termo do cálculo correto.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 1,2% é próximo de $0,10^2 \times 0,90^2 \times 2 = 0,0162$ (1,62%), mas não corresponde a nenhum cálculo direto. Pode ser um distrator para quem confunde o coeficiente binomial com o número de tentativas (n = 4) ou aplica a fórmula de forma incorreta.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Aplicando corretamente a fórmula binomial: $P(X = 2) = \binom{4}{2} \times 0,10^2 \times 0,90^{2} = 6 \times 0,01 \times 0,81 = 0,0486$ , que em porcentagem é 4,86%, aproximadamente 4,9%. O coeficiente binomial $\binom{4}{2} = 6$ conta as 6 maneiras de escolher quais 2 dos 4 eleitores votaram em C.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 8,2% é o dobro de 4,1%, mas não corresponde a nenhum termo do cálculo. Pode ser um distrator para quem usa $p = 0,20$ (dobro de 0,10) ou comete erro na potência. Não há base teórica para esse valor.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 14,8% é o triplo de 4,9%, mas não corresponde a nenhum cálculo direto. Pode ser um distrator para quem usa $p = 0,30$ ou soma as probabilidades de k = 1 e k = 2 (29,16% + 4,86% = 34,02%, que não é 14,8%). Não há fundamento para esse valor.

PEGA ESSA DICA!

Para questões de distribuição binomial, identifique rapidamente: (1) número de tentativas (n), (2) probabilidade de sucesso (p), (3) número de sucessos desejado (k). Aplique a fórmula e confira se o resultado está em porcentagem. Treine com questões que variam o valor de p e n para fixar o cálculo.

Gabarito: letra C