Questão de Estatística — Inferência estatística — FGV 2025

Intervalo de Confiança para a Média com Variância Conhecida

Gabarito: letra A. O intervalo de 95% de confiança para a média é dado por $\bar{x} \pm z \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$, onde $\bar{x} = 30$, $\sigma = \sqrt{16} = 4$, $n = 100$ e $z = 1{,}96$ (percentil 97,5% da normal padrão). Assim, o erro máximo é $1{,}96 \times \frac{4}{10} = 0{,}784$, resultando no intervalo $(29{,}216;\, 30{,}784)$, que aproximado é (29,2; 30,8).

O intervalo de confiança é a ferramenta da inferência estatística que, a partir de uma amostra, fornece um conjunto de valores plausíveis para o parâmetro populacional desconhecido (no caso, a média $\mu$). Como a variância populacional é conhecida ($\sigma^2 = 16$) e a população é normal, a média amostral $\bar{X}$ tem distribuição normal com média $\mu$ e desvio padrão $\sigma/\sqrt{n}$. Essa é a base do Teorema Central do Limite, que garante a normalidade (aproximada) da média amostral para amostras grandes, mesmo quando a população não é normal.

A construção do intervalo segue a lógica: queremos capturar o parâmetro com probabilidade $1-\alpha = 0{,}95$. Para isso, tomamos o valor crítico $z$ que deixa $\alpha/2 = 0{,}025$ em cada cauda da distribuição normal padrão — por isso usamos o percentil 97,5%, que é $1{,}96$. O intervalo é centrado na estimativa pontual $\bar{x}$ e se estende por uma margem de erro $E = z \cdot \sigma/\sqrt{n}$. Quanto maior o nível de confiança, maior o valor crítico $z$ e, portanto, mais largo o intervalo; quanto maior a amostra, menor o erro padrão e mais estreito o intervalo.

A pegadinha clássica da banca aqui é confundir a variância com o desvio padrão: o enunciado fornece a variância ($\sigma^2 = 16$), mas a fórmula exige o desvio padrão ($\sigma = 4$). Quem usa 16 diretamente obtém um intervalo absurdamente largo, que não corresponde a nenhuma alternativa — mas quem usa $\sqrt{16}$ corretamente chega à letra A. Outra armadilha é esquecer de dividir pelo tamanho da amostra na raiz: $\sqrt{100} = 10$, e não 100.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Aplicando a fórmula com os dados do enunciado:

Portanto, o intervalo é $(30 - 0{,}784;\, 30 + 0{,}784) = (29{,}216;\, 30{,}784)$, que aproximado para uma casa decimal é (29,2; 30,8). A alternativa está correta porque usa o desvio padrão (raiz da variância), o tamanho amostral na raiz e o valor crítico correto para 95% de confiança.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O intervalo (28,8; 31,2) tem amplitude de 2,4, ou seja, margem de erro de 1,2. Isso corresponderia a um valor crítico de $z = 1{,}2 \times 10 / 4 = 3$, que não é o valor para 95% de confiança. O erro aqui é usar um valor crítico maior que 1,96, como se o nível de confiança fosse maior (aproximadamente 99,7%). A banca troca o valor de $z$ para testar se o candidato decora o intervalo sem calcular.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O intervalo (28,5; 31,5) tem margem de erro de 1,5, que corresponderia a $z = 1{,}5 \times 10 / 4 = 3{,}75$. Esse valor não tem relação com o nível de confiança de 95%. A alternativa parece plausível porque mantém a média 30 no centro, mas a largura está errada — provavelmente o candidato usou um valor crítico incorreto ou errou no cálculo do erro padrão.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O intervalo (28,1; 31,9) tem margem de erro de 1,9, que corresponderia a $z = 1{,}9 \times 10 / 4 = 4{,}75$. Esse valor é ainda mais distante do correto. A alternativa é um distrator que aumenta progressivamente a largura do intervalo, testando se o candidato percebe que a margem de erro correta é aproximadamente 0,78.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O intervalo (27,8; 32,2) tem margem de erro de 2,2, que corresponderia a $z = 2{,}2 \times 10 / 4 = 5{,}5$. Esse valor é completamente fora da realidade para um nível de confiança de 95%. A alternativa é o distrator mais extremo, provavelmente incluído para capturar quem usa a variância (16) em vez do desvio padrão (4) na fórmula, obtendo um intervalo muito largo.

Gabarito: letra A