Considere um consumidor com x > 0 e y ≥ 0, cuja utilidade éu(x, y) = min {2x, y} + ln (x).A renda é m = 12.No cenário A, px = 1 e py = 1.No cenário B, px = 2 e py = 1 (renda inalterada).Adote a abordagem padrão de maximização sob restrição: em preferências suaves usa-se a condição TMS = px/py, mas com preferências com quina a solução pode ocorrer no ponto de quina (não há tangência única). A alternativa correta para os cenários A e B, (x∗A, y∗A ), (x∗B , y∗B ), respectivamente, e a classificação (quando muda do cenário A para o B) do par (x , y) como substitutos ou complementares (pela resposta de y∗ quando px aumenta), é dada por:
A(4,8), (3,6), complementares.
B(6,6), (4,4), complementares.
C(4,8), (2,8), substitutos.
D(8,4), (6,3), substitutos.
E(3,9), (3,6), complementares.
Revelar gabarito e comentário▾
GabaritoA — (4,8), (3,6), complementares.
Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.
Escolha do consumidor com utilidade quase-linear e quina
Gabarito: letra A. No cenário A, a cesta ótima é (x, y) = (4, 8); no cenário B, é (3, 6). Como o aumento de px de 1 para 2 reduz y* de 8 para 6, os bens são complementares (a demanda de y cai quando o preço de x sobe). A resolução combina a condição de tangência da parte suave (ln x) com a restrição da quina (2x = y) do componente min{2x, y}.
A função de utilidade é a soma de duas partes: uma função de proporções fixas (Leontief) min{2x, y} e uma função logarítmica ln(x). A parte Leontief cria uma quina na curva de indiferença ao longo da linha y = 2x — fora dessa linha, a utilidade é determinada pelo menor dos dois argumentos, então o consumidor nunca escolherá pontos fora dela, pois poderia aumentar a utilidade sem gastar mais. A parte ln(x) é crescente e côncava em x, o que garante que o consumidor sempre consuma uma quantidade positiva de x (x > 0), mesmo que isso o afaste da proporção exata da quina.
A abordagem padrão é: primeiro, resolver o problema de maximização sujeito à restrição orçamentária, considerando a possibilidade de solução na quina (onde 2x = y) ou no interior (onde a TMS da parte suave iguala a razão de preços). Como a função é quase-linear, a demanda por x depende apenas do preço relativo, e a demanda por y é o resíduo da renda.
Cenário A (px = 1, py = 1, m = 12)
Solução na quina: Se y = 2x, a restrição orçamentária x + y = 12 dá x + 2x = 12 → 3x = 12 → x = 4, y = 8. A utilidade é u = min{8, 8} + ln(4) = 8 + ln(4).
Solução interior: A TMS da parte suave (derivada de ln(x)) é 1/x. Igualando à razão de preços px/py = 1, temos 1/x = 1 → x = 1. Com x = 1, a restrição dá y = 11. A utilidade seria u = min{2, 11} + ln(1) = 2 + 0 = 2, muito menor que 8 + ln(4) ≈ 9,39. Portanto, a solução ótima é na quina: (4, 8).
Cenário B (px = 2, py = 1, m = 12)
Solução na quina: Se y = 2x, a restrição 2x + y = 12 dá 2x + 2x = 12 → 4x = 12 → x = 3, y = 6. A utilidade é u = min{6, 6} + ln(3) = 6 + ln(3).
Solução interior: A TMS é 1/x. Igualando à razão de preços px/py = 2, temos 1/x = 2 → x = 0,5. Com x = 0,5, a restrição dá y = 12 - 2(0,5) = 11. A utilidade seria u = min{1, 11} + ln(0,5) = 1 - 0,69 = 0,31, muito menor que 6 + ln(3) ≈ 7,10. Portanto, a solução ótima é na quina: (3, 6).
Classificação dos bens
Quando px aumenta de 1 para 2, a quantidade demandada de y cai de 8 para 6. Pela definição, dois bens são complementares se um aumento no preço de um deles reduz a demanda do outro (elasticidade cruzada negativa). Como y* diminui quando px aumenta, x e y são complementares.
1Quina: y = 2x
2Cenário A: (4, 8)
3Cenário B: (3, 6)
4y cai → complementares
LEVEL · soulevel.com.br
Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO
Apresenta exatamente as cestas calculadas: (4, 8) no cenário A e (3, 6) no cenário B, e classifica os bens como complementares, o que é consistente com a queda de y* quando px aumenta.
Alternativa B — ❌ Incorreta
As cestas (6, 6) e (4, 4) não satisfazem a condição de quina y = 2x (em (6,6), 2x = 12 ≠ 6; em (4,4), 2x = 8 ≠ 4). Além disso, violam a restrição orçamentária: no cenário A, 6 + 6 = 12 (ok), mas no cenário B, 2(4) + 4 = 12 (ok). Porém, essas cestas não são ótimas, pois o consumidor poderia aumentar a utilidade movendo-se para a quina. A classificação como complementares também não se sustenta com essas cestas, pois y* não muda de forma consistente com a definição.
Alternativa C — ❌ Incorreta
A cesta (4, 8) está correta para o cenário A, mas (2, 8) não é ótima no cenário B: com px = 2, a restrição 2(2) + 8 = 12 é satisfeita, mas a utilidade é min{4, 8} + ln(2) = 4 + 0,69 = 4,69, muito menor que 6 + ln(3) ≈ 7,10. Além disso, a classificação como substitutos está errada, pois y* cai quando px aumenta, indicando complementaridade.
Alternativa D — ❌ Incorreta
As cestas (8, 4) e (6, 3) não satisfazem a condição de quina y = 2x (em (8,4), 2x = 16 ≠ 4; em (6,3), 2x = 12 ≠ 3). Embora respeitem a restrição orçamentária (8+4=12; 2(6)+3=15≠12 — a segunda viola!), a primeira também não é ótima, pois a utilidade é min{16, 4} + ln(8) = 4 + 2,08 = 6,08, menor que 8 + ln(4) ≈ 9,39. A classificação como substitutos também está incorreta.
Alternativa E — ❌ Incorreta
A cesta (3, 9) não é ótima no cenário A: com px = 1, a restrição 3 + 9 = 12 é satisfeita, mas a utilidade é min{6, 9} + ln(3) = 6 + 1,10 = 7,10, menor que 8 + ln(4) ≈ 9,39. A cesta (3, 6) está correta para o cenário B, mas a classificação como complementares é consistente com a queda de y*, porém a primeira cesta invalida a alternativa.
NÃO CAIA NESSA!
A banca explora a tentação de aplicar a condição TMS = px/py diretamente, ignorando a quina da função Leontief. Muitos candidatos resolvem apenas a parte ln(x) e obtêm x = 1 (cenário A) ou x = 0,5 (cenário B), esquecendo que a parte min{2x, y} domina a utilidade e força a solução para a linha y = 2x. A dica é: sempre verifique se a solução interior (tangência) realmente maximiza a utilidade comparando com a solução na quina — a que der maior utilidade vence.
PEGA ESSA DICA!
Para funções com min{ax, by}, a quina ocorre em ax = by. Resolva o sistema com a restrição orçamentária e compare a utilidade com a solução de tangência da parte suave. Se a utilidade na quina for maior, a solução ótima está lá. Esse método evita o erro de ignorar a quina.