Especialista Legislativo - Nível III - Administração Geral
O teto retangular de um salão (11 m x 8 m) é representado no 1º quadrante de um plano cartesiano, com seu lado maior sobre o eixo das abscissas e o menor sobre o das ordenadas. Dois sensores são instalados nos pontos de coordenadas (2,2) e (9,7).O cabo que conecta os sensores deve sair do primeiro ponto até atingir qualquer uma das quatro bordas do teto perpendicularmente, percorrer parte dessa borda e, em seguida, sair perpendicularmente dessa mesma borda até atingir o segundo ponto.A extensão mínima de cabo necessária para cumprir essas condições é de
A20 m.
B18 m.
C16 m.
D14 m.
E13 m.
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GabaritoD — 14 m.
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Resolução
Gabarito: letra D — a conta chega a 14 m (alternativa D).
A ideia por trás
O problema trata de distâncias no plano cartesiano e do caminho mais curto que toca uma reta (a borda do teto). Quando um caminho deve sair de um ponto, tocar uma reta e chegar a outro ponto, o caminho mínimo é obtido refletindo um dos pontos em relação à reta e ligando os dois pontos por uma reta. Aqui, porém, o cabo toca a borda em dois pontos distintos: ele sai perpendicularmente de A, percorre um trecho da borda e entra perpendicularmente em B. Assim, o comprimento total é a soma das distâncias perpendiculares de A e B até a borda, mais a distância ao longo da borda entre as projeções. Para cada uma das quatro bordas, calculamos esse total e escolhemos o menor.
O que a questão dá
retângulo 11 m × 8 m, lado maior sobre o eixo x
ponto A = (2,2)
ponto B = (9,7)
O que queremos: a extensão mínima do cabo que sai de A perpendicularmente a uma borda, percorre a borda e chega perpendicularmente a B
Passo 1 — Identificar as bordas do teto
O cabo pode tocar qualquer uma das quatro bordas, então precisamos saber quais são elas. O retângulo tem vértices em (0,0), (11,0), (11,8) e (0,8), então as bordas são as retas y=0, y=8, x=0 e x=11.
bordas: y=0, y=8, x=0, x=11
NÃO CAIA NESSA!
Confundir a ordem dos eixos: o lado maior (11 m) está no eixo x, então o retângulo vai de x=0 a x=11 e de y=0 a y=8.
Passo 2 — Calcular o comprimento para a borda inferior
Para cada borda, o cabo tem três partes: a distância perpendicular de A até a borda, o trecho ao longo da borda, e a distância perpendicular da borda até B. Começamos pela borda inferior (y=0), porque é a mais próxima de A.
Por que esta fórmula: A distância perpendicular de um ponto (x,y) até a reta y=0 é simplesmente o valor de y. A distância ao longo da borda é a diferença entre as coordenadas x das projeções.
De onde vem cada valor: = enunciado: A=(2,2), então y_A=2 · = enunciado: B=(9,7), então y_B=7 · = enunciado: B=(9,7), então x_B=9 · = enunciado: A=(2,2), então x_A=2
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de somar as duas distâncias perpendiculares; usar apenas a distância entre os pontos diretamente.
Passo 3 — Calcular o comprimento para a borda superior
A borda superior (y=8) é a mais distante de A, mas pode resultar em um caminho menor porque as distâncias perpendiculares são menores. Precisamos calcular para comparar.
Por que esta fórmula: A distância perpendicular de um ponto até a reta y=8 é a diferença entre 8 e a coordenada y do ponto. A distância ao longo da borda é a mesma diferença em x.
De onde vem cada valor: = enunciado: A=(2,2), então y_A=2 · = enunciado: B=(9,7), então y_B=7 · = enunciado: B=(9,7), então x_B=9 · = enunciado: A=(2,2), então x_A=2
NÃO CAIA NESSA!
Usar a distância de A até a borda como 2 em vez de 6; lembre que a borda superior está em y=8, então a distância é 8-2=6.
Passo 4 — Calcular o comprimento para a borda esquerda
A borda esquerda (x=0) é outra opção; precisamos calcular para garantir que não é menor que 14 m.
Por que esta fórmula: A distância perpendicular de um ponto até a reta x=0 é a coordenada x do ponto. A distância ao longo da borda é a diferença entre as coordenadas y das projeções.
De onde vem cada valor: = enunciado: A=(2,2), então x_A=2 · = enunciado: B=(9,7), então x_B=9 · = enunciado: B=(9,7), então y_B=7 · = enunciado: A=(2,2), então y_A=2
NÃO CAIA NESSA!
Confundir as coordenadas: a distância perpendicular é a coordenada x, não y.
Passo 5 — Calcular o comprimento para a borda direita
A borda direita (x=11) é a última opção; calculamos para completar a comparação.
Por que esta fórmula: A distância perpendicular de um ponto até a reta x=11 é a diferença entre 11 e a coordenada x do ponto. A distância ao longo da borda é a diferença entre as coordenadas y.
De onde vem cada valor: = enunciado: A=(2,2), então x_A=2 · = enunciado: B=(9,7), então x_B=9 · = enunciado: B=(9,7), então y_B=7 · = enunciado: A=(2,2), então y_A=2
NÃO CAIA NESSA!
Usar a distância de A até a borda como 2 em vez de 9; lembre que a borda direita está em x=11, então a distância é 11-2=9.
Passo 6 — Comparar os comprimentos e escolher o menor
Com os quatro valores calculados, o menor é o comprimento mínimo do cabo. Isso resolve o problema.
menor valor: 14 m (borda superior)
NÃO CAIA NESSA!
Achar que o caminho mínimo é a distância em linha reta entre A e B, mas o cabo precisa tocar a borda perpendicularmente, então o caminho é maior.