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Questão de Matemática — Física Matemática — FGV 2026

MatemáticaFísica Matemática
Código
fg129456
Banca
FGV
Órgão
AMAZUL
Ano
2026
Nível
Superior
Cargo
Meteorologista
Em modelagem matemática, a resolução numérica das equações diferenciais parciais que descrevem o transporte e dispersão de poluentes na atmosfera – como o clássico modelo de pluma gaussiana - frequentemente utiliza o método de diferenças finitas que é facilmente programável nas mais diversas linguagens computacionais. Tal abordagem, embora prática, é um tanto contraditória, pois introduz uma representação de esquema discreto de um meio que originalmente é considerado contínuo no espaço e no tempo. O equacionamento dos esquemas desenvolvidos pelo método de diferenças finitas baseia-se na expansão em série de Taylor, conforme as expressões a seguir:Imagem associada para resolução da questãoonde C é uma variável escalar, tal como a concentração de um poluente, x₀ e y₀ são os pontos centrais da grade e Δx é o espaçamento entre dois pontos adjacentes. Truncando as séries até os termos de terceira ordem e realizando as operações algébricas, obtém-se o esquema de diferenças centradas para derivada primeira.Nesse caso, a equação diferencial parcial é aproximada pela equação em diferenças finitas somada a um erro de truncamento, cuja ordem de grandeza é
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GabaritoD — [imagem]

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Métodos Numéricos: Diferenças Finitas e Erro de Truncamento

Gabarito: letra D. O esquema de diferenças centradas para a derivada primeira é obtido subtraindo-se as expansões em série de Taylor de C(x0+Δx,y0)C(x_0 + \Delta x, y_0) e C(x0−Δx,y0)C(x_0 - \Delta x, y_0). Ao realizar essa operação, os termos de ordem par (como a derivada segunda) se cancelam, enquanto os termos de ordem ímpar se somam, resultando em um erro de truncamento de ordem O((Δx)2)O((\Delta x)^2).

Análise do Método

Para derivar o esquema de diferenças centradas, utilizamos a expansão de Taylor em torno de x0x_0:

  1. C(x0+Δx)=C(x0)+C′(x0)Δx+C′′(x0)2!(Δx)2+C′′′(x0)3!(Δx)3+O((Δx)4)C(x_0 + \Delta x) = C(x_0) + C'(x_0)\Delta x + \frac{C''(x_0)}{2!}(\Delta x)^2 + \frac{C'''(x_0)}{3!}(\Delta x)^3 + O((\Delta x)^4)

  2. C(x0−Δx)=C(x0)−C′(x0)Δx+C′′(x0)2!(Δx)2−C′′′(x0)3!(Δx)3+O((Δx)4)C(x_0 - \Delta x) = C(x_0) - C'(x_0)\Delta x + \frac{C''(x_0)}{2!}(\Delta x)^2 - \frac{C'''(x_0)}{3!}(\Delta x)^3 + O((\Delta x)^4)

Subtraindo a equação (2) da equação (1):

C(x0+Δx)−C(x0−Δx)=2C′(x0)Δx+2C′′′(x0)6(Δx)3+O((Δx)5)C(x_0 + \Delta x) - C(x_0 - \Delta x) = 2C'(x_0)\Delta x + 2\frac{C'''(x_0)}{6}(\Delta x)^3 + O((\Delta x)^5)

Isolando a derivada primeira C′(x0)C'(x_0):

C′(x0)=C(x0+Δx)−C(x0−Δx)2Δx−C′′′(x0)6(Δx)2+O((Δx)4)C'(x_0) = \frac{C(x_0 + \Delta x) - C(x_0 - \Delta x)}{2\Delta x} - \frac{C'''(x_0)}{6}(\Delta x)^2 + O((\Delta x)^4)

O termo remanescente que representa o erro de truncamento é proporcional a (Δx)2(\Delta x)^2, o que caracteriza um esquema de segunda ordem de precisão.

  1. 1Expansão de Taylor de C(x₀+Δx)
  2. 2Expansão de Taylor de C(x₀-Δx)
  3. 3Subtrai (2) de (1)
  4. 4Termos pares cancelam
  5. 5Isola C'(x₀)
  6. 6Erro de truncamento O(Δx²)
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Alternativas

  • Alternativa A: Incorreta. Refere-se a uma ordem de erro que não condiz com o esquema de diferenças centradas.

  • Alternativa B: Incorreta. A ordem de erro não é fracionária.

  • Alternativa C: Incorreta. Refere-se a um esquema de primeira ordem (como diferenças progressivas ou regressivas).

  • Alternativa D: ✅ Correta. O erro de truncamento do esquema de diferenças centradas para a derivada primeira é de ordem O((Δx)2)O((\Delta x)^2).

  • Alternativa E: Incorreta. Refere-se a um erro de terceira ordem, que não é o caso deste esquema.

PEGA ESSA DICA!

Em métodos numéricos, lembre-se que esquemas de diferenças centradas geralmente possuem uma ordem de precisão superior aos esquemas unilaterais (progressivos/regressivos) devido ao cancelamento de termos de ordem inferior na série de Taylor.

Gabarito: letra D

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