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Questão de Matemática — Álgebra — FGV 2026

MatemáticaÁlgebra
Código
fg130059
Banca
FGV
Órgão
AMAZUL
Ano
2026
Nível
Médio
Cargo
Técnico de Informática

Considere os números escritos em diferentes bases de numeração:


A = (12) (N+1), B = (200)N, C = (3B)16 e D = (21)N.


Sabendo-se que a igualdade 2*D + 2*C = 5*A + B é válida, assinale a opção que corretamente apresenta o valor de N. 

  1. A2
  2. B5
  3. C6
  4. D7
  5. E9
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 7

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a N = 7 (alternativa D).

A ideia por trás

Os sistemas de numeração são formas de representar quantidades usando uma base. Na base decimal (base 10), cada posição vale uma potência de 10; em uma base qualquer N, cada posição vale uma potência de N. Para converter um número de uma base para a decimal, multiplicamos cada algarismo pela potência da base correspondente à sua posição e somamos. A relação que governa é a expansão posicional: (a_n a_{n-1} ... a_0)_b = a_n b^n + a_{n-1} b^{n-1} + ... + a_0 b^0. Quando a base cresce, o valor do número cresce, e algarismos maiores que a base não são permitidos. Nesta questão, precisamos converter todos os números para a base decimal, substituir na igualdade e resolver a equação resultante, lembrando que a base N deve ser um inteiro maior que 1 e que todos os algarismos usados devem ser menores que N.

O que a questão dá

  • A = (12)_{N+1}

  • B = (200)_N

  • C = (3B)_{16}

  • D = (21)_N

  • igualdade: 2D + 2C = 5A + B

O que queremos: o valor de N

Passo 1 — Converter A para decimal

Para comparar os números, precisamos expressá-los na mesma base (decimal). A conversão usa a expansão posicional: cada algarismo multiplica uma potência da base.

Por que esta fórmula: A fórmula da conversão de base é a definição de sistema posicional: o algarismo da direita é a unidade (base^0), o seguinte é base^1, etc.

A=1⋅(N+1)+2A = 1 \cdot (N+1) + 2

De onde vem cada valor: 11 = enunciado: algarismo das dezenas de A · (N+1)(N+1) = enunciado: base de A · 22 = enunciado: algarismo das unidades de A

A=1⋅(N+1)+2A = 1 \cdot (N+1) + 2
A=N+3A = \boxed{\text{N} + 3}
NÃO CAIA NESSA!

Trocar a ordem: escrever 2(N+1)+1 em vez de 1(N+1)+2.

Passo 2 — Converter B para decimal

B está na base N, então precisamos expandir seus algarismos em potências de N.

Por que esta fórmula: O número (200)_N tem três algarismos: o 2 na posição das dezenas (N^2), 0 nas unidades (N^1) e 0 nas unidades (N^0).

B=2⋅N2+0⋅N+0B = 2 \cdot N^{2} + 0 \cdot N + 0

De onde vem cada valor: 22 = enunciado: algarismo das centenas de B · N2N^{2} = enunciado: base N elevada à posição 2 · 00 = enunciado: algarismos das dezenas e unidades

B=2⋅N2+0⋅N+0B = 2 \cdot N^{2} + 0 \cdot N + 0
B=2 N2B = \boxed{2\ \text{N}^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que o 2 está na posição N^2, não N.

Passo 3 — Converter C para decimal

C está na base 16 (hexadecimal), onde os algarismos A-F representam 10-15. O algarismo B vale 11.

Por que esta fórmula: A conversão de hexadecimal segue a mesma regra: cada algarismo multiplica uma potência de 16.

C=3⋅16+11C = 3 \cdot 16 + 11

De onde vem cada valor: 33 = enunciado: algarismo das dezenas de C · 1616 = enunciado: base de C · 1111 = enunciado: algarismo B em hexadecimal vale 11

C=3⋅16+11C = 3 \cdot 16 + 11
C=59C = \boxed{59}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir o algarismo B com a letra B do enunciado, tratando-o como variável.

Passo 4 — Converter D para decimal

D está na base N, então expandimos seus algarismos.

Por que esta fórmula: O número (21)_N tem dois algarismos: 2 na posição N^1 e 1 na posição N^0.

D=2⋅N+1D = 2 \cdot N + 1

De onde vem cada valor: 22 = enunciado: algarismo das dezenas de D · NN = enunciado: base de D · 11 = enunciado: algarismo das unidades de D

D=2⋅N+1D = 2 \cdot N + 1
D=2 N+1D = \boxed{2\ \text{N} + 1}
NÃO CAIA NESSA!

Inverter a ordem: escrever 1·N + 2.

Passo 5 — Substituir na igualdade

Com todos os números em decimal, podemos montar a equação que relaciona N.

Por que esta fórmula: A igualdade dada é 2D + 2C = 5A + B; substituímos as expressões obtidas.

2(2N+1)+2⋅59=5(N+3)+2N22(2N+1) + 2 \cdot 59 = 5(N+3) + 2N^{2}

De onde vem cada valor: 2N+12N+1 = passo 4 · 5959 = passo 3 · N+3N+3 = passo 1 · 2N22N^{2} = passo 2

2(2N+1)+2⋅59=5(N+3)+2N22(2N+1) + 2 \cdot 59 = 5(N+3) + 2N^{2}
4N+120=2 N2+5N+154N + 120 = \boxed{2\ \text{N}^{2} + 5\text{N} + 15}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a distributiva: 2(2N+1) = 4N+2, não 2N+2.

Passo 6 — Reorganizar a equação

Para resolver, precisamos deixar a equação na forma padrão ax² + bx + c = 0.

Por que esta fórmula: Movemos todos os termos para um lado, igualando a zero.

2N2+N−105=02N^{2} + N - 105 = 0

De onde vem cada valor: 2N22N^{2} = passo 5: termo do lado direito · NN = passo 5: 5N - 4N · −105-105 = passo 5: 15 - 120

2N2+N−105=02N^{2} + N - 105 = 0
2N2+N−105=02N^{2} + N - 105 = \boxed{0}
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal ao mover termos: 120 - 15 = 105, não -105.

Passo 7 — Resolver a equação do 2º grau

A equação é quadrática; usamos a fórmula de Bhaskara para achar N.

Por que esta fórmula: Para ax² + bx + c = 0, as raízes são x = (-b ± √(b²-4ac))/(2a).

N=−1±12−4⋅2⋅(−105)2⋅2N = \frac{-1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (-105)}}{2 \cdot 2}

De onde vem cada valor: −1-1 = coeficiente b da equação · 121^{2} = b² · 22 = coeficiente a · −105-105 = coeficiente c

N=−1±1+8404N = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 840}}{4}

N = 7 ou N = -7,5

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o sinal de menos no discriminante: √(1+840) = √841 = 29.

Passo 8 — Escolher a raiz válida

A base N deve ser um inteiro positivo maior que 1, e todos os algarismos usados devem ser menores que N.

Por que esta fórmula: N = -7,5 não é inteiro positivo; N = 7 é válido, pois 0, 1, 2 < 7.

N=7N = \boxed{7}
NÃO CAIA NESSA!

Aceitar N = -7,5 sem verificar a condição de base.

Resposta: N = 7 (alternativa D)

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