GabaritoA — 0
Gabarito: letra A. Se a média das notas é 0 ou 10, todos os 30 estudantes tiraram a mesma nota (0 ou 10, respectivamente), logo não há variabilidade entre as notas e o desvio-padrão é 0. Isso decorre diretamente da definição de desvio-padrão como medida de dispersão dos dados em torno da média: se todos os valores são iguais à média, cada desvio individual é zero e a soma dos quadrados dos desvios é zero.
A questão explora um caso extremo de distribuição de dados. Quando a média de um conjunto de valores é igual ao valor mínimo ou máximo possível, a única forma de isso ocorrer é que todos os valores sejam iguais a esse extremo. Se algum estudante tivesse nota diferente, a média não seria exatamente 0 ou 10. Por exemplo, se 29 estudantes tirassem 0 e 1 tirasse 1, a média seria , não 0. Portanto, a condição M = 0 ou M = 10 força a homogeneidade total dos dados.
O desvio-padrão mede exatamente o quanto os dados se afastam da média. Com todos os valores iguais, o desvio-padrão é nulo. Essa é uma propriedade fundamental: o desvio-padrão é sempre maior ou igual a zero, e só é zero quando não há dispersão alguma.
Caso | Média (M) | Notas dos 30 estudantes | Desvio-padrão (D) |
|---|---|---|---|
Caso 1 | 0 | Todas iguais a 0 | 0 |
Caso 2 | 10 | Todas iguais a 10 | 0 |
Se M = 0, todas as 30 notas são 0; se M = 10, todas as 30 notas são 10. Em ambos os casos, não há variação entre as notas, então a variância é zero e o desvio-padrão D = 0. A alternativa está correta.
D = 5 não corresponde a nenhuma situação possível. O desvio-padrão só seria 5 se houvesse dispersão em torno da média, mas com M = 0 ou M = 10 não há dispersão alguma. Esse valor é um distrator numérico sem fundamento.
D = 10 seria o desvio-padrão se os dados estivessem espalhados, mas com todos os valores iguais a 0 ou 10, não há espalhamento. O valor 10 é a própria nota máxima, não uma medida de dispersão.
D = 15 é um valor impossível para o desvio-padrão de notas que variam apenas entre 0 e 10. O desvio-padrão máximo possível para dados nesse intervalo é 5 (quando metade tira 0 e metade tira 10), então 15 está fora de qualquer possibilidade.
D = 30 é o tamanho da amostra (número de estudantes), não uma medida de dispersão. A banca troca o conceito de desvio-padrão pelo número de observações, uma confusão clássica.
A banca explora a tentação de associar o desvio-padrão ao tamanho da amostra (30) ou à nota máxima (10). Mas o desvio-padrão mede a dispersão dos dados, não a quantidade de dados nem o valor máximo. Quando a média é um extremo (0 ou 10), todos os dados são iguais a esse extremo, e a dispersão é zero. Fique atento: sempre que a média for igual ao valor mínimo ou máximo do conjunto, o desvio-padrão é obrigatoriamente 0.
Gabarito: letra A
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