Estatística · FGV · 2026 | Questão sqc-fg131592

Desvio padrão amostral e coeficiente de variação

Gabarito: letra E. Para os dados 29%, 30%, 28%, 29,5% e 28,5%, a média é 29%, a variância amostral é 0,625 (em pontos percentuais ao quadrado), o desvio padrão amostral é $s = \sqrt{0,625} \approx 0,79$ e o coeficiente de variação é $CV = \frac{0,79}{29} \times 100\% \approx 2,7\%$ . A alternativa E é a única que combina esses dois valores.

Vamos entender o cálculo passo a passo. O desvio padrão amostral mede a dispersão dos dados em torno da média, usando $n-1$ no denominador (correção de Bessel), pois estamos trabalhando com uma amostra e não com a população inteira. O coeficiente de variação (CV) é uma medida relativa de dispersão, que expressa o desvio padrão como porcentagem da média — ele permite comparar a variabilidade de conjuntos de dados com médias diferentes.

Cálculo da média ( $\bar{x}$ ):

\bar{x} = \frac{29 + 30 + 28 + 29,5 + 28,5}{5} = \frac{145}{5} = 29\%

Cálculo da variância amostral ( $s^2$ ):

Primeiro, calculamos a soma dos quadrados dos desvios em relação à média:

$(29 - 29)^2 = 0$
$(30 - 29)^2 = 1$
$(28 - 29)^2 = 1$
$(29,5 - 29)^2 = 0,25$
$(28,5 - 29)^2 = 0,25$

Soma dos quadrados dos desvios = $0 + 1 + 1 + 0,25 + 0,25 = 2,5$

A variância amostral é:

s^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n-1} = \frac{2,5}{4} = 0,625

Desvio padrão amostral ( $s$ ):

s = \sqrt{s^2} = \sqrt{0,625}

O enunciado fornece $0,025^{1/2} \approx 0,158$ . Note que $0,625 = 25 \times 0,025$ , então:

s = \sqrt{25 \times 0,025} = 5 \times \sqrt{0,025} \approx 5 \times 0,158 = 0,79

Coeficiente de variação (CV):

CV = \frac{s}{\bar{x}} \times 100\% = \frac{0,79}{29} \times 100\% \approx 0,02724 \times 100\% \approx 2,7\%

Portanto, $s \approx 0,79$ e $CV \approx 2,7\%$ .

Distribuição de teores de álcool — só Amostras: 5; só Valores: —; Amostras∩Valores: —

Alternativa A — ❌ Incorreta

O desvio padrão está correto ( $s = 0,70$ ? Não, o valor correto é $0,79$ ), mas o CV está errado. O valor $2,0\%$ não corresponde a nenhum cálculo correto; provavelmente o candidato usou um desvio padrão incorreto ou errou na divisão.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O desvio padrão está correto ( $s = 0,79$ ), mas o CV está errado. O valor $2,4\%$ não é o resultado de $\frac{0,79}{29} \times 100\%$ ; pode ter sido obtido por um arredondamento inadequado ou erro de cálculo.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O desvio padrão está errado ( $s = 0,70$ em vez de $0,79$ ) e o CV também está errado ( $2,4\%$ em vez de $2,7\%$ ). O valor $0,70$ poderia ser obtido se o candidato usasse a variância populacional (dividindo por $n$ em vez de $n-1$ ) e depois arredondasse incorretamente, mas o CV não bate.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O desvio padrão está errado ( $s = 0,70$ em vez de $0,79$ ), embora o CV esteja correto ( $2,7\%$ ). O valor $0,70$ não é a raiz de $0,625$ ; é um distrator comum para quem erra o cálculo da variância.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Apresenta exatamente os valores calculados: $s = 0,79$ e $CV = 2,7\%$ . O desvio padrão amostral foi obtido corretamente com a divisão por $n-1$ , e o coeficiente de variação é a razão entre o desvio padrão e a média, multiplicada por 100%.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre variância populacional e amostral. Se você dividir a soma dos quadrados dos desvios por $n$ (5) em vez de $n-1$ (4), obtém $s^2 = 0,5$ e $s \approx 0,70$ — que aparece nas alternativas A, C e D. Mas a questão pede explicitamente o desvio padrão amostral, então a divisão correta é por $n-1$ . Fique atento a essa distinção: em provas, sempre verifique se a medida pedida é populacional ou amostral.

PEGA ESSA DICA!

Para calcular o desvio padrão amostral rapidamente, use a fórmula alternativa: $s^2 = \frac{\sum x_i^2 - \frac{(\sum x_i)^2}{n}}{n-1}$ . Com os dados: $\sum x_i = 145$ , $\sum x_i^2 = 29^2 + 30^2 + 28^2 + 29,5^2 + 28,5^2 = 841 + 900 + 784 + 870,25 + 812,25 = 4207,5$ . Então $s^2 = \frac{4207,5 - \frac{145^2}{5}}{4} = \frac{4207,5 - 4205}{4} = \frac{2,5}{4} = 0,625$ . Esse método evita calcular cada desvio individualmente e é mais rápido na prova.

Gabarito: letra E