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Questão de Matemática — Funções — FGV 2026

MatemáticaFunções
Código
fg132444
Banca
FGV
Órgão
Prefeitura de São José dos Campos - SP
Ano
2026
Nível
Superior
Cargo
Professor II - Matemática
Seja f a função real de variável real tal quef(x) = −2x² + 2x + 12.A área da região do primeiro quadrante que fica abaixo do gráfico de f e acima do eixo-x é
  1. A12.
  2. B15.
  3. C21.
  4. D27.
  5. E30.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 27.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 27 unidades de área (alternativa D).

A ideia por trás

A área sob uma curva é uma medida de quanto espaço fica entre o gráfico e o eixo horizontal. Para uma função contínua e não negativa, essa área é calculada pela integral definida, que soma infinitas fatias verticais de altura f(x) e largura infinitesimal dx. A função quadrática f(x) = -2x² + 2x + 12 é uma parábola com concavidade para baixo, pois o coeficiente de x² é negativo; ela cruza o eixo-x nas raízes, que são os pontos onde f(x) = 0. Entre as raízes, a parábola fica acima do eixo, e fora delas, abaixo. Nesta questão, precisamos achar as raízes para saber onde a curva está acima do eixo no primeiro quadrante, e então integrar nesse intervalo.

O que a questão dá

  • f(x) = -2x^2 + 2x + 12

  • região no primeiro quadrante abaixo do gráfico e acima do eixo-x

O que queremos: a área da região do primeiro quadrante sob a parábola

Passo 1 — Encontrar as raízes da parábola

A área sob a curva só existe onde a função é positiva (acima do eixo-x). As raízes são os pontos onde a parábola cruza o eixo, e entre elas a função tem sinal positivo (concavidade para baixo). Precisamos desses valores para definir os limites de integração.

Por que esta fórmula: Para achar as raízes, igualamos a função a zero e resolvemos a equação do segundo grau. Podemos dividir por -2 para simplificar, pois isso não altera as raízes.

−2x2+2x+12=0⇒x2−x−6=0-2x^{2} + 2x + 12 = 0 \Rightarrow x^{2} - x - 6 = 0

De onde vem cada valor: −2x2+2x+12-2x^{2} + 2x + 12 = enunciado: f(x) = -2x^2 + 2x + 12 · x2−x−6x^{2} - x - 6 = divisão da equação por -2

−2x2+2x+12=0⇒x2−x−6=0-2x^{2} + 2x + 12 = 0 \Rightarrow x^{2} - x - 6 = 0

raízes: x = -2 e x = 3

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de dividir todos os termos por -2, ou errar a fatoração (x-3)(x+2).

Passo 2 — Determinar o intervalo no primeiro quadrante

O primeiro quadrante é onde x ≥ 0 e y ≥ 0. Como a parábola é positiva apenas entre as raízes (-2, 3), no primeiro quadrante ela fica acima do eixo-x somente de x=0 até x=3. Esses serão os limites de integração.

intervalo:[0,3]\boxed{\text{intervalo}: [0, 3]}
NÃO CAIA NESSA!

Usar o intervalo (-2, 3) inteiro, incluindo a parte negativa de x, o que daria área errada.

Passo 3 — Montar a integral definida

A área sob uma curva positiva entre a e b é a integral definida de f(x) de a até b. Aqui, a=0 e b=3, e f(x) é a função dada.

Por que esta fórmula: A integral definida é a ferramenta que soma as áreas de retângulos infinitesimais de altura f(x) e largura dx, dando a área exata sob a curva.

A=∫03(−2x2+2x+12) dxA = \int_0^{3} (-2x^{2} + 2x + 12)\,dx

De onde vem cada valor: 00 = passo 2: limite inferior do primeiro quadrante · 33 = passo 2: raiz positiva · −2x2+2x+12-2x^{2} + 2x + 12 = enunciado: f(x)

A=∫03(−2x2+2x+12) dxA = \int_0^{3} (-2x^{2} + 2x + 12)\,dx
NÃO CAIA NESSA!

Trocar os limites de integração ou esquecer o sinal de menos na função.

Passo 4 — Calcular a primitiva da função

Para avaliar a integral definida, precisamos da primitiva (antiderivada) de f(x). A primitiva é uma função cuja derivada é f(x).

Por que esta fórmula: A regra da potência: a integral de x^n é x^(n+1)/(n+1), para n ≠ -1. Aplicamos a cada termo.

int (-2x^2 + 2x + 12) dx = -frac2x^33 + x^2 + 12x + C

De onde vem cada valor: −2x2-2x^{2} = termo da função · 2x2x = termo da função · 1212 = termo constante

int (-2x^2 + 2x + 12) dx = -frac2x^33 + x^2 + 12x
F(x)=−2 x3/3+x2+12xF(x) = \boxed{-2\ \text{x}^{3}/3 + \text{x}^{2} + 12\text{x}}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a integração: por exemplo, integrar -2x^2 como -2x^3 (sem dividir por 3) ou esquecer a constante, mas na definida ela se cancela.

Passo 5 — Avaliar a integral nos limites

A integral definida é a diferença entre a primitiva avaliada no limite superior e no inferior. Isso dá a área líquida sob a curva.

Por que esta fórmula: Pelo Teorema Fundamental do Cálculo: ∫_a^b f(x)dx = F(b) - F(a), onde F é a primitiva.

A=F(3)−F(0)A = F(3) - F(0)

De onde vem cada valor: F(3)F(3) = passo 4: primitiva avaliada em x=3 · F(0)F(0) = passo 4: primitiva avaliada em x=0

A = [-frac2(3)^33 + (3)^2 + 12(3)] - [-frac2(0)^33 + (0)^2 + 12(0)]
A=27A = \boxed{27}
NÃO CAIA NESSA!

Errar as potências: (3)^3 = 27, não 9; ou esquecer de subtrair F(0), que aqui é 0.

Resposta: 27 unidades de área (alternativa D)

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