Matemática · FGV · 2026 | Questão sqc-fg132445

Reta tangente e derivada

Gabarito: letra C. A reta tangente a $f(x)=3x^2-x-1$ no ponto de abscissa $x=2$ tem coeficiente angular $f'(2)=11$ e passa pelo ponto $(2,9)$ , resultando na equação $11x-y-13=0$ .

A derivada de uma função em um ponto fornece exatamente a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente ao gráfico nesse ponto. Para uma função polinomial, aplicamos a regra do tombo: a derivada de $x^n$ é $n\cdot x^{n-1}$ , e a derivada de uma constante é zero. Assim, derivando termo a termo:

f'(x) = 3\cdot 2x^{2-1} - 1\cdot x^{1-1} + 0 = 6x - 1

No ponto de abscissa $x=2$ , o coeficiente angular é $f'(2) = 6\cdot 2 - 1 = 11$ . A ordenada do ponto de tangência é $f(2) = 3\cdot 2^2 - 2 - 1 = 12 - 3 = 9$ . Com o ponto $(2,9)$ e a inclinação $11$ , a equação da reta é:

y - 9 = 11(x - 2) \Rightarrow y = 11x - 13 \Rightarrow 11x - y - 13 = 0

A banca explora dois erros comuns: trocar o sinal do termo independente (colocar $+13$ em vez de $-13$ ) e confundir o coeficiente angular (usar $13$ em vez de $11$ , talvez por calcular $f(2)$ em vez de $f'(2)$ ).

Alternativa A — ❌ Incorreta

A equação $11x - y + 13 = 0$ tem o coeficiente angular correto ( $11$ ), mas o termo independente com sinal trocado. A forma correta é $11x - y - 13 = 0$ ; o sinal positivo faria a reta passar por $(0,13)$ , não pelo ponto de tangência $(2,9)$ .

Alternativa B — ❌ Incorreta

A equação $11x + y + 13 = 0$ tem o coeficiente de $y$ com sinal trocado, o que inverte a inclinação da reta (coeficiente angular $-11$ em vez de $11$ ). Além disso, o termo independente também está com sinal errado.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A equação $11x - y - 13 = 0$ é exatamente a reta tangente: coeficiente angular $11$ (derivada no ponto) e passando pelo ponto $(2,9)$ , pois $11\cdot 2 - 9 - 13 = 0$ .

Alternativa D — ❌ Incorreta

A equação $13x - y - 17 = 0$ usa o coeficiente angular $13$ , que é o valor de $f(2)$ (a ordenada do ponto), não o da derivada $f'(2)=11$ . O termo independente também não corresponde ao ponto de tangência.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A equação $13x + y - 35 = 0$ combina dois erros: coeficiente angular $13$ (em vez de $11$ ) e sinal do coeficiente de $y$ trocado, resultando em inclinação negativa.

NÃO CAIA NESSA!

A banca troca o valor da função $f(2)=9$ pelo valor da derivada $f'(2)=11$ nas alternativas D e E, e inverte o sinal do termo independente nas alternativas A e B. Para não cair, lembre: o coeficiente angular da tangente é sempre a derivada no ponto, não o valor da função.

PEGA ESSA DICA!

Na hora da prova, calcule primeiro $f'(x)$ e depois $f'(x_0)$ — esse é o coeficiente angular. Em seguida, calcule $f(x_0)$ para obter o ponto de tangência. Monte a equação $y - y_0 = m(x - x_0)$ e compare com as alternativas. Se a equação estiver na forma $ax + by + c = 0$ , confira se o ponto $(x_0, y_0)$ a satisfaz.

Gabarito: letra C