Matemática · FGV · 2026 | Questão sqc-fg132450

Geometria Plana: triângulo inscrito em semicircunferência

Gabarito: letra D — a área do triângulo ABC é $\frac{5\sqrt{39}}{2}$ . Como AB é diâmetro, o ângulo ACB é reto (ângulo inscrito que subtende um semicírculo), então o triângulo é retângulo em C. Com AB = 8 (diâmetro = 2 × raio) e AC = 5, aplicamos Pitágoras para achar BC e depois a área.

O ponto-chave desta questão é reconhecer que, quando um triângulo está inscrito em uma circunferência e um de seus lados é o diâmetro, o ângulo oposto a esse lado é reto. Isso é uma consequência direta do teorema do ângulo inscrito: o ângulo inscrito que subtende um arco de 180° (a semicircunferência) mede 90°. Portanto, o triângulo ABC é retângulo em C, com hipotenusa AB.

O diâmetro AB mede o dobro do raio: $AB = 2 \times 4 = 8$ . Temos então um triângulo retângulo com hipotenusa 8 e um cateto AC = 5. Pelo Teorema de Pitágoras, o outro cateto BC é:

BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{8^2 - 5^2} = \sqrt{64 - 25} = \sqrt{39}

A área do triângulo retângulo é metade do produto dos catetos:

\text{Área} = \frac{AC \times BC}{2} = \frac{5 \times \sqrt{39}}{2} = \frac{5\sqrt{39}}{2}

A banca explora exatamente a falha de não perceber que o triângulo é retângulo. Quem não lembra que o ângulo inscrito numa semicircunferência é reto pode tentar usar a fórmula de Heron ou a lei dos cossenos, complicando a resolução. A alternativa E ( $\frac{5\sqrt{41}}{2}$ ) é um distrator clássico: usa $BC = \sqrt{5^2 + 4^2} = \sqrt{41}$ , tratando o raio como cateto, o que está errado.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 6 não corresponde a nenhuma relação direta entre os dados. Se o aluno assumisse erroneamente que o triângulo é equilátero ou usasse uma base/altura incorreta, poderia chegar a um número pequeno como 6, mas não há fundamento geométrico para isso.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 20 seria obtido se alguém calculasse $\frac{8 \times 5}{2} = 20$ , tratando o diâmetro AB como base e AC como altura. O erro está em considerar AC perpendicular a AB, o que não é verdade — o ângulo reto está em C, não em A ou B.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$5\sqrt{3}$ é um valor que aparece em problemas com triângulos equiláteros ou com ângulos de 60°. Aqui, não há ângulo de 60° garantido, então esse valor não se aplica. O aluno pode ter confundido com a área de um triângulo equilátero de lado 5, que é $\frac{25\sqrt{3}}{4}$ , ou com outra relação trigonométrica.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, o triângulo ABC é retângulo em C (ângulo inscrito que subtende o diâmetro AB). Com hipotenusa AB = 8 e cateto AC = 5, o outro cateto BC = $\sqrt{39}$ . A área é $\frac{5\sqrt{39}}{2}$ , exatamente o valor da alternativa.

Alternativa E — ❌ Incorreta

$\frac{5\sqrt{41}}{2}$ é o distrator mais perigoso. Ele surge se o aluno calcular $BC = \sqrt{5^2 + 4^2} = \sqrt{41}$ , usando o raio (4) como se fosse um cateto. Mas o raio não é lado do triângulo — o lado é o diâmetro (8). Esse erro é comum quando não se percebe que AB é o diâmetro e, portanto, a hipotenusa.

NÃO CAIA NESSA!

A banca quer que você confunda o raio com o diâmetro. O triângulo tem hipotenusa AB = 8 (diâmetro), não 4 (raio). Quem usa 4 como hipotenusa ou como cateto cai na alternativa E. Lembre-se: o ângulo reto está no vértice C, oposto ao diâmetro.

PEGA ESSA DICA!

Sempre que um triângulo estiver inscrito em uma circunferência e um lado for o diâmetro, o ângulo oposto a esse lado é reto. Isso transforma o problema em uma simples aplicação de Pitágoras. Guarde essa relação: diâmetro → ângulo reto → triângulo retângulo.

Gabarito: letra D