Uma colônia de bactérias cresce exponencialmente, de modo que sua população pode ser modelada por uma função exponencial P(t) = P₀ ∙ ekt, onde P₀ e k são constantes e t é o tempo medido em horas após um certo instante inicial.Sabe-se que P(1) = 1500 e P(4) = 40500.Duas horas após o instante inicial, a população dessa colônia era
A3000.
B4500.
C6000.
D14500.
E15000.
Revelar gabarito e comentário▾
GabaritoB — 4500.
Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.
Resolução
Gabarito: letra B — a conta chega a 4500 bactérias (alternativa B).
A ideia por trás
Uma função exponencial do tipo P(t) = P₀·e^(kt) descreve um crescimento em que a variação é proporcional ao valor atual — é o modelo clássico para populações, juros compostos e decaimento radioativo. Aqui, P₀ é a população no instante t = 0 e k é a taxa de crescimento (positiva, pois a população aumenta). O passo central é determinar as constantes P₀ e k a partir dos dois pontos fornecidos. Substituindo t = 1 e t = 4, obtemos duas equações; dividindo uma pela outra, eliminamos P₀ e encontramos a base e^k. Com isso, voltamos a uma das equações para achar P₀ e, então, calculamos P(2).
O que a questão dá
P(1) = 1500
P(4) = 40500
modelo: P(t) = P₀ · e^(kt)
O que queremos: a população duas horas após o instante inicial, ou seja, P(2)
Passo 1 — Escrever as duas equações
Para descobrir P₀ e k, precisamos de duas informações. Cada ponto dado (t, P(t)) vira uma equação substituindo na fórmula geral. Assim, montamos um sistema com duas equações e duas incógnitas.
Por que esta fórmula: A função dada é P(t) = P₀·e^(kt). Substituindo t = 1 e t = 4, obtemos as duas equações que relacionam P₀ e k.
De onde vem cada valor: = constante a determinar · = exponencial com k a determinar · = enunciado: P(1) = 1500
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de escrever a segunda equação P(4) = P₀·e^{4k} = 40500.
Passo 2 — Dividir as equações para eliminar P₀
Com duas equações, dividir uma pela outra é um truque que elimina P₀, deixando apenas a exponencial com k. Isso simplifica o problema: passamos de duas incógnitas para uma.
Por que esta fórmula: Ao dividir P(4) por P(1), o P₀ cancela, e a propriedade das potências e^{4k}/e^{k} = e^{3k}.
(P(4))/(P(1)) = fracP₀ · e^4kP₀ · e^k = e^3k
De onde vem cada valor: = enunciado: 40500 · = enunciado: 1500 · e^4k = exponencial com t = 4 · = exponencial com t = 1
(40500)/(1500) = e^3k
e^3k = 27
NÃO CAIA NESSA!
Dividir os números errados (1500/40500) ou esquecer que e^{4k}/e^{k} = e^{3k}.
Passo 3 — Descobrir o valor de e^k
Agora temos e^{3k} = 27. Como 27 = 3³, podemos igualar os expoentes e concluir que e^k = 3. Isso nos dá a base do crescimento.
Por que esta fórmula: Se e^{3k} = 27 e 27 = 3³, então e^{3k} = 3³, logo e^k = 3 (pois a função exponencial é injetora).
e^3k = 27 Rightarrow e^k = 3
De onde vem cada valor: e^3k = passo 2: e^{3k} = 27 · = passo 2: resultado · = fatoração de 27
e^3k = 3^3 Rightarrow e^k = 3
NÃO CAIA NESSA!
Tentar achar k diretamente sem perceber que e^k = 3 já é suficiente.
Passo 4 — Calcular P₀ usando a primeira equação
Com e^k = 3, voltamos à primeira equação P(1) = P₀·e^k = 1500. Substituindo e^k por 3, isolamos P₀ e descobrimos a população inicial.
Por que esta fórmula: A equação P(1) = P₀·e^k = 1500 é a mais simples para achar P₀, pois já temos o valor de e^k.
De onde vem cada valor: = constante a determinar · = passo 3: e^k = 3 · = enunciado: P(1) = 1500
NÃO CAIA NESSA!
Usar a segunda equação (P(4)) e errar a conta, ou esquecer de dividir por 3.
Passo 5 — Montar a função com os valores encontrados
Agora que conhecemos P₀ = 500 e e^k = 3, podemos escrever a função completa P(t) = 500·3^t. Isso nos permite calcular a população em qualquer instante, inclusive t = 2.
Por que esta fórmula: Substituindo P₀ e e^k na forma original, a função fica P(t) = 500·(e^k)^t = 500·3^t.
De onde vem cada valor: = passo 4: P₀ = 500 · = passo 3: e^k = 3
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer que e^{kt} = (e^k)^t e usar e^k = 3 de forma errada.
Passo 6 — Calcular P(2) substituindo t = 2
A pergunta pede a população duas horas após o instante inicial, ou seja, t = 2. Substituímos t por 2 na função encontrada e calculamos o valor.
Por que esta fórmula: A função P(t) = 500·3^t já está pronta; basta substituir t por 2.
De onde vem cada valor: = passo 4: P₀ = 500 · = passo 3: e^k = 3 · = enunciado: duas horas após o instante inicial
NÃO CAIA NESSA!
Calcular 500·3 = 1500 (esquecendo o quadrado) ou fazer 500·2³ = 4000.