GabaritoA — 1/3.
Gabarito: letra A — a conta chega a f⁻¹(1) = 1/3, alternativa A..
A função inversa desfaz o que a função original faz: se f(a) = b, então f⁻¹(b) = a. No caso, queremos o valor de x que, aplicado em f, resulta em 1. O logaritmo é a operação que responde: 'qual expoente devo colocar na base para obter um certo número?'. Aqui, log₂(3x+1) = 1 significa que 2 elevado a 1 é igual a 3x+1. A relação fundamental é: log_b(a) = c ⇔ a = b^c. Quando a base é maior que 1, o logaritmo cresce com o argumento, mas aqui o que importa é a equivalência direta. Nesta questão, precisamos aplicar essa equivalência para isolar x e encontrar o valor pedido.
f(x) = log₂(3x + 1)
queremos f⁻¹(1)
O que queremos: o valor de x tal que f(x) = 1, ou seja, f⁻¹(1)
Queremos f⁻¹(1), que é o valor de x que faz f(x) = 1. Então escrevemos a equação log₂(3x+1) = 1.
Por que esta fórmula: A definição de função inversa: se f(a) = b, então f⁻¹(b) = a. Aqui, b = 1, então procuramos a tal que f(a) = 1.
De onde vem cada valor: = enunciado: argumento do logaritmo em f(x) · = enunciado: queremos f⁻¹(1)
Confundir f⁻¹(1) com f(1) e calcular log₂(4) = 2.
A equação log₂(3x+1) = 1 está na forma log_b(a) = c. Pela definição, isso equivale a a = b^c. Precisamos dessa equivalência para eliminar o logaritmo e obter uma equação algébrica.
Por que esta fórmula: A definição de logaritmo: log_b(a) = c ⇔ a = b^c. É a ponte entre logaritmo e exponencial.
De onde vem cada valor: = passo 1: argumento do logaritmo · = enunciado: base do logaritmo · = passo 1: valor do logaritmo
Inverter a base: escrever 1^2 em vez de 2^1.
Temos 3x+1 = 2. Para encontrar x, precisamos isolá-lo. Primeiro subtraímos 1 dos dois lados para eliminar a constante.
Por que esta fórmula: Operação inversa da adição: subtrair 1 de ambos os lados mantém a igualdade.
De onde vem cada valor: = passo 2: lado esquerdo da equação · = passo 2: lado direito da equação · = passo 2: constante a subtrair
Esquecer de subtrair 1 e dividir 2 por 3, obtendo 2/3.
Agora 3x = 1. Para isolar x, dividimos ambos os lados por 3, pois a operação inversa da multiplicação é a divisão.
Por que esta fórmula: Para isolar a incógnita, aplicamos a operação inversa: dividir por 3.
De onde vem cada valor: = passo 3: valor de 3x · = passo 3: coeficiente de x
Inverter a fração e escrever 3/1, ou errar a divisão.
Resposta: f⁻¹(1) = 1/3, alternativa A.
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