Questão de Matemática — Análise Combinatória em Matemática — FGV 2026
Matemática›Análise Combinatória em Matemática
Código
fg132460
Banca
FGV
Órgão
Prefeitura de São José dos Campos - SP
Ano
2026
Nível
Superior
Cargo
Professor II - Matemática
O conjunto C é formado por todos os números inteiros N maiores que 1000 e menores que 2000 com a seguinte propriedade: N é formado por três algarismos diferentes, entre os quais um se repete. Por exemplo, 1383, 1200 e 1451 são elementos de C.
O número de elementos de C é:
A216.
B336.
C432.
D504.
E1512.
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GabaritoC — 432.
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Resolução
Gabarito: letra C — a conta chega a 432 (alternativa C).
A ideia por trás
A análise combinatória é a área que conta de quantas maneiras podemos organizar elementos seguindo regras. Aqui contamos números de 4 algarismos, e a regra é que exatamente três algarismos diferentes apareçam, com um deles repetido. O princípio multiplicativo diz: se uma escolha tem a opções e outra tem b, o total é a × b. A restrição de estar entre 1000 e 2000 fixa o primeiro algarismo como 1, o que reduz o problema. A chave é separar em dois casos: quando o algarismo repetido é o 1 ou quando é outro. Em cada caso, contamos as possibilidades para as posições restantes e multiplicamos.
O que a questão dá
N entre 1000 e 2000
N tem 4 algarismos
exatamente 3 algarismos diferentes, um se repete
O que queremos: o número de elementos de C
Passo 1 — Fixar o primeiro algarismo como 1
O número está entre 1000 e 2000, então o algarismo da unidade de milhar só pode ser 1. Isso reduz o problema: temos 4 posições, mas a primeira já está determinada.
1\ _ _ _
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer que o milhar é fixo e contar como se pudesse ser qualquer algarismo de 1 a 9.
Passo 2 — Contar quando o repetido é o 1
Se o algarismo repetido é o 1, ele aparece no milhar e em mais uma das três posições restantes. Precisamos escolher onde colocar esse segundo 1 e depois preencher as outras duas posições com algarismos diferentes de 1 e entre si.
Por que esta fórmula: Usamos o princípio multiplicativo: primeiro escolhemos a posição do segundo 1 (3 opções), depois escolhemos dois algarismos distintos entre os 9 disponíveis (0 a 9 exceto 1), o que dá 9 × 8 = 72 arranjos.
De onde vem cada valor: = posições possíveis para o segundo 1 (centena, dezena, unidade) · = algarismos disponíveis para a primeira posição livre (0 a 9, exceto 1) · = algarismos disponíveis para a segunda posição livre (excluindo o já usado)
NÃO CAIA NESSA!
Contar 10 algarismos disponíveis, esquecendo de excluir o 1.
Passo 3 — Contar quando o repetido não é o 1
Se o algarismo repetido não é o 1, o 1 aparece apenas no milhar. Precisamos escolher qual algarismo (diferente de 1) se repete, em quais duas posições ele aparece, e preencher a posição restante com um algarismo diferente de 1 e do repetido.
Por que esta fórmula: Primeiro escolhemos o algarismo repetido: 9 opções (0,2,3,...,9). Depois escolhemos 2 posições entre as 3 restantes para ele: combinação C(3,2)=3. Por fim, preenchemos a posição que sobra com um algarismo diferente de 1 e do repetido: 8 opções. Multiplicamos tudo.
De onde vem cada valor: = algarismos possíveis para o repetido (0 a 9, exceto 1) · = escolha de 2 posições entre 3 (centena, dezena, unidade) · = algarismos para a posição restante (excluindo 1 e o repetido)
NÃO CAIA NESSA!
Usar arranjo em vez de combinação para escolher as posições, contando 3×2 em vez de 3.
Passo 4 — Somar os dois casos
Os dois cenários são mutuamente exclusivos e cobrem todas as possibilidades, então o total é a soma das contagens de cada um.
Por que esta fórmula: Soma de eventos disjuntos: se um evento pode ocorrer de a maneiras e outro de b maneiras, e não há interseção, o total é a + b.