Questão de Matemática — Geometria Espacial — FGV 2026

Geometria Espacial — Distância de Ponto a Reta

Gabarito: letra A. A distância $d$ do vértice $A$ à reta $EC$ (diagonal do cubo) é calculada pela fórmula da área do triângulo $AEC$ ou por projeção vetorial, resultando em $d = a \cdot \sqrt{\frac{2}{3}}$, onde $a$ é a aresta do cubo. Com $a = 60$, temos $d = 60 \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} = 60 \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} = 20\sqrt{6}$. Utilizando a aproximação fornecida ($\sqrt{6} \approx 2,45$), obtemos $d = 20 \cdot 2,45 = 49$.

Para visualizar, considere o triângulo $AEC$. O lado $AE$ é uma aresta ($60$), o lado $AC$ é a diagonal da face ($60\sqrt{2}$) e o lado $EC$ é a diagonal do cubo ($60\sqrt{3}$). A altura relativa ao lado $EC$ é a distância procurada. A área do triângulo $AEC$ pode ser calculada como $\frac{AE \cdot AC}{2} = \frac{60 \cdot 60\sqrt{2}}{2} = 1800\sqrt{2}$. Por outro lado, a área também é $\frac{EC \cdot d}{2} = \frac{60\sqrt{3} \cdot d}{2} = 30\sqrt{3} \cdot d$. Igualando as áreas:

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ Gabarito

O valor calculado de $49$ é a aproximação correta para $20\sqrt{6}$, dado que $20 \times 2,45 = 49$.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor $51$ está acima do resultado obtido. Erro de cálculo ou aproximação incorreta.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor $53$ é superior ao resultado real de $49$.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor $55$ não condiz com a aplicação da fórmula da distância de ponto a reta no cubo.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor $57$ é o mais distante do resultado correto.

Gabarito: letra A