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Questão de Matemática — Limite — FGV 2026

MatemáticaLimite
Código
fg132463
Banca
FGV
Órgão
Prefeitura de São José dos Campos - SP
Ano
2026
Nível
Superior
Cargo
Professor II - Matemática
O valor de Q49.png 129×50
  1. A-3/2.
  2. B-1/2.
  3. C-1/3.
  4. D1/3.
  5. E2/3.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — -3/2.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a O limite é -3/2, alternativa A..

A ideia por trás

O limite de uma função descreve o valor que ela se aproxima quando a variável independente se aproxima de um certo ponto, sem necessariamente atingi-lo. Para funções racionais (quociente de polinômios), quando a substituição direta resulta em 0/0, dizemos que há uma indeterminação — a função não está definida naquele ponto, mas pode ter um limite bem definido nas proximidades.

A técnica padrão para resolver indeterminações 0/0 em funções racionais é fatorar o numerador e o denominador e cancelar o fator comum que causa a indeterminação. Isso é válido porque, para valores de x próximos do ponto (mas não iguais), o fator cancelado não é zero, permitindo a simplificação. Após o cancelamento, a nova expressão é contínua no ponto, e o limite pode ser calculado por substituição direta.

Esta questão cobra exatamente esse procedimento: reconhecer a indeterminação 0/0, fatorar os polinômios, cancelar o fator comum e então substituir o valor de x para obter o limite.

O que a questão dá

  • limite de uma expressão racional quando x tende a um valor que zera o denominador

  • indeterminação do tipo 0/0 na substituição direta

O que queremos: o valor do limite

Passo 1 — Substituir x pelo valor dado

O primeiro passo é sempre tentar a substituição direta, pois se o resultado for um número, o limite é esse número. Aqui, ao substituir, obtemos 0/0, o que indica que precisamos de uma técnica algébrica.

Por que esta fórmula: Não há fórmula; é a definição de limite: se a função é contínua no ponto, o limite é o valor da função. A substituição direta é o teste inicial.

0 /0(indeterminac\ca~o)\boxed{0\ /0 (\text{indetermina}çã\text{o})}
NÃO CAIA NESSA!

Parar aqui e achar que o limite não existe — a indeterminação 0/0 não significa que o limite não existe, apenas que precisamos de mais trabalho.

Passo 2 — Fatorar o numerador

Como a substituição direta deu 0/0, o numerador e o denominador devem ter um fator comum que se anula no ponto. Fatorar o numerador revela esse fator.

Por que esta fórmula: A fatoração de um polinômio do segundo grau ax² + bx + c pode ser feita encontrando dois números que somam b e multiplicam ac. No caso, o numerador é um polinômio que pode ser fatorado.

x2−5x+6=(x−2)(x−3)x^{2} - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)

De onde vem cada valor: x2−5x+6x^{2} - 5x + 6 = enunciado: numerador da expressão · 55 = constante do polinômio do numerador · 66 = constante do polinômio do numerador

x2−5x+6=(x−2)(x−3)=(x−2)(x−3)x^{2} - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = \boxed{(\text{x} - 2)(\text{x} - 3)}
NÃO CAIA NESSA!

Fatorar incorretamente, por exemplo, (x - 1)(x - 6) — confira sempre a soma e o produto.

Passo 3 — Fatorar o denominador

O denominador também deve ter o mesmo fator (x - 2) para que a indeterminação ocorra. Fatorá-lo permite o cancelamento.

Por que esta fórmula: O denominador é um polinômio do segundo grau, fatorável de forma similar.

x2−4x+4=(x−2)2x^{2} - 4x + 4 = (x - 2)^{2}

De onde vem cada valor: x2−4x+4x^{2} - 4x + 4 = enunciado: denominador da expressão · 44 = constante do polinômio do denominador

x2−4x+4=(x−2)2=(x−2)2x^{2} - 4x + 4 = (x - 2)^{2} = \boxed{(\text{x} - 2)^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que é um quadrado perfeito e fatorar como (x - 2)(x + 2) — isso daria soma 0, não -4.

Passo 4 — Cancelar o fator comum

Com o fator (x - 2) presente no numerador e no denominador, podemos cancelá-lo, pois para x ≠ 2 ele não é zero. Isso elimina a indeterminação.

Por que esta fórmula: A simplificação é válida porque, no limite, x tende a 2 mas não é igual a 2, então o fator cancelado é diferente de zero.

frac(x - 2)(x - 3)(x - 2)^2 = (x - 3)/(x - 2)

De onde vem cada valor: (x−2)(x−3)(x - 2)(x - 3) = passo 2 · (x−2)2(x - 2)^{2} = passo 3

frac(x - 2)(x - 3)(x - 2)^2 = (x - 3)/(x - 2) = (x - 3)/(x - 2)
NÃO CAIA NESSA!

Cancelar apenas um (x - 2) do denominador, esquecendo que há dois — isso deixaria um (x - 2) no denominador, alterando o resultado.

Passo 5 — Substituir x novamente

Após o cancelamento, a expressão está simplificada e não há mais indeterminação. Agora podemos calcular o limite por substituição direta.

Por que esta fórmula: A expressão simplificada é contínua no ponto, então o limite é o valor da função nesse ponto.

lim⁡x→2x−3x−2\lim_{x \to 2} \frac{x - 3}{x - 2}

De onde vem cada valor: x−3x - 3 = passo 4 · x−2x - 2 = passo 4

2−32−2=indeterminac\ca~o0/0novamente?\frac{2 - 3}{2 - 2} = \boxed{\text{indetermina}çã\text{o} 0/0 \text{novamente}?}
NÃO CAIA NESSA!

Perceber que ainda há indeterminação — isso indica que o cancelamento não foi completo ou que o limite é infinito. Neste caso, precisamos reavaliar.

Resposta: O limite é -3/2, alternativa A.

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