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Questão de Matemática — Geometria Analítica — FGV 2026

MatemáticaGeometria Analítica
Código
fg134493
Banca
FGV
Órgão
AMAZUL
Ano
2026
Nível
Médio
No plano cartesiano xy, considere os seguintes pontos: A(9,3), B(12,7), C(4,4), D(14,5) e E(11,-1).Entre os pontos B, C, D e E, quantos são os que distam menos que 5 do ponto A?
  1. A0
  2. B1
  3. C2
  4. D3
  5. E4
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GabaritoB — 1

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a Apenas 1 ponto (E) dista menos que 5 do ponto A. Alternativa B..

A ideia por trás

A distância entre dois pontos no plano cartesiano mede o comprimento do segmento de reta que os une. Ela é calculada pela fórmula d = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²], que vem do Teorema de Pitágoras: as diferenças das coordenadas formam os catetos de um triângulo retângulo, e a distância é a hipotenusa. Quanto maior a diferença nas coordenadas, maior a distância; a fórmula combina os dois eixos ao quadrado, então um ponto pode estar longe em x, perto em y, e a distância reflete o equilíbrio. Nesta questão, precisamos comparar cada distância com o valor 5, e para evitar raízes, comparamos os quadrados: a condição d < 5 equivale a d² < 25.

O que a questão dá

  • A(9,3)

  • B(12,7)

  • C(4,4)

  • D(14,5)

  • E(11,-1)

O que queremos: quantos dos pontos B, C, D e E distam menos que 5 do ponto A

Passo 1 — Calcular o quadrado da distância de A a B

Para saber se B está a menos de 5 de A, precisamos da distância. Como comparar com 5 é mais fácil sem raiz, calculamos d² e comparamos com 25.

Por que esta fórmula: A fórmula da distância entre dois pontos (x₁,y₁) e (x₂,y₂) é d = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²]. Elevando ao quadrado, temos d² = (x₂-x₁)² + (y₂-y₁)², que evita a raiz.

dAB2=(xB−xA)2+(yB−yA)2d_{AB}^{2} = (x_B - x_A)^{2} + (y_B - y_A)^{2}

De onde vem cada valor: xBx_B = enunciado: B(12,7) · xAx_A = enunciado: A(9,3) · yBy_B = enunciado: B(12,7) · yAy_A = enunciado: A(9,3)

dAB2=(12−9)2+(7−3)2=32+42=9+16=25=25d_{AB}^{2} = (12 - 9)^{2} + (7 - 3)^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25 = \boxed{25}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de elevar ao quadrado e somar 3+4=7, comparando com 5 errado.

Passo 2 — Comparar o quadrado da distância de B com 25

Temos d² = 25, que é exatamente 25. A condição é d < 5, ou seja, d² < 25. Como 25 não é menor que 25, B não conta.

Por que esta fórmula: A condição d < 5 é equivalente a d² < 25, pois ambos os lados são positivos.

B não dista menos que 5

NÃO CAIA NESSA!

Considerar que d = 5 é menor que 5, mas a condição é estritamente menor.

Passo 3 — Calcular o quadrado da distância de A a C

Agora repetimos o processo para o ponto C, pois precisamos verificar cada ponto.

Por que esta fórmula: Mesma fórmula da distância ao quadrado.

dAC2=(xC−xA)2+(yC−yA)2d_{AC}^{2} = (x_C - x_A)^{2} + (y_C - y_A)^{2}

De onde vem cada valor: xCx_C = enunciado: C(4,4) · xAx_A = enunciado: A(9,3) · yCy_C = enunciado: C(4,4) · yAy_A = enunciado: A(9,3)

dAC2=(4−9)2+(4−3)2=(−5)2+12=25+1=26=26d_{AC}^{2} = (4 - 9)^{2} + (4 - 3)^{2} = (-5)^{2} + 1^{2} = 25 + 1 = 26 = \boxed{26}
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal ao subtrair: (4-9) = -5, mas ao elevar ao quadrado fica 25.

Passo 4 — Comparar o quadrado da distância de C com 25

Temos d² = 26, que é maior que 25. Portanto, d > 5, então C não conta.

Por que esta fórmula: Se d² > 25, então d > 5, pois a raiz é crescente.

C não dista menos que 5

NÃO CAIA NESSA!

Confundir: 26 > 25, então a distância é maior que 5, não menor.

Passo 5 — Calcular o quadrado da distância de A a D

Verificamos o ponto D.

Por que esta fórmula: Mesma fórmula.

dAD2=(xD−xA)2+(yD−yA)2d_{AD}^{2} = (x_D - x_A)^{2} + (y_D - y_A)^{2}

De onde vem cada valor: xDx_D = enunciado: D(14,5) · xAx_A = enunciado: A(9,3) · yDy_D = enunciado: D(14,5) · yAy_A = enunciado: A(9,3)

dAD2=(14−9)2+(5−3)2=52+22=25+4=29=29d_{AD}^{2} = (14 - 9)^{2} + (5 - 3)^{2} = 5^{2} + 2^{2} = 25 + 4 = 29 = \boxed{29}
NÃO CAIA NESSA!

Somar 25+4 = 29, mas esquecer que 29 > 25.

Passo 6 — Comparar o quadrado da distância de D com 25

d² = 29 > 25, então D não conta.

Por que esta fórmula: Se d² > 25, d > 5.

D não dista menos que 5

NÃO CAIA NESSA!

Achar que 29 é menor que 25 por engano.

Passo 7 — Calcular o quadrado da distância de A a E

Por fim, verificamos o ponto E.

Por que esta fórmula: Mesma fórmula.

dAE2=(xE−xA)2+(yE−yA)2d_{AE}^{2} = (x_E - x_A)^{2} + (y_E - y_A)^{2}

De onde vem cada valor: xEx_E = enunciado: E(11,-1) · xAx_A = enunciado: A(9,3) · yEy_E = enunciado: E(11,-1) · yAy_A = enunciado: A(9,3)

dAE2=(11−9)2+(−1−3)2=22+(−4)2=4+16=20=20d_{AE}^{2} = (11 - 9)^{2} + (-1 - 3)^{2} = 2^{2} + (-4)^{2} = 4 + 16 = 20 = \boxed{20}
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal de y: -1 - 3 = -4, mas ao quadrado dá 16.

Passo 8 — Comparar o quadrado da distância de E com 25

d² = 20 < 25, então d < 5. E conta!

Por que esta fórmula: Se d² < 25, d < 5.

E dista menos que 5

NÃO CAIA NESSA!

Achar que 20 > 25 por engano.

Resposta: Apenas 1 ponto (E) dista menos que 5 do ponto A. Alternativa B.

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